【数学IA】三角比の応用

ここでは三角比を利用して様々な問題を解いてみましょう。

今回は正弦定理・余弦定理を使わずに解きます。

サイン・コサイン・タンジェントの意味を考えて解きましょう。

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1 辺の長さを三角比を利用して表す
2 辺の長さを求める問題
3 辺の長さを求める問題2
4 辺の長さを求める問題3

辺の長さを三角比を利用して表す

ヒロ

辺の長さを三角比を用いて表すことができるようになろう。

【辺の長さを三角比を用いて表す方法】
次のような直角三角形ABCを考える。

サイン・コサイン・タンジェントの値は

$\begin{align*} &\sin\theta=\dfrac{b}{c} \\[4pt] &\cos\theta=\dfrac{a}{c} \\[4pt] &\tan\theta=\dfrac{b}{a} \end{align*}$

であり，これらの式より

$\begin{align*} &a=c\cos\theta \\[4pt] &b=c\sin\theta=a\tan\theta \end{align*}$

を導くことができる。

ヒロ

元々の三角比の式から変形して $a,~b$ を $\theta$ を用いて表したが，直接書けるようにしよう。

ヒロ

個人的には，毎回「 $\sin\theta=\dfrac{b}{c}$ の両辺に $c$ をかけることで， $b=c\sin\theta$ 」と変形するのでは「比」を正しく理解できていないように感じる。

ヒロ

次の問題の解き方によって，三角比を利用する考え方がスムーズに吸収できるかどうかが分かるかもしれない。

問題

問題次の直角三角形ABCを考える。丸囲み数字は辺の比を表すものとする。

(1)

$\text{AB}=15$ のとき，AC, BCの長さを求めよ。
(2)

$\text{BC}=5$ のとき，AC, ABの長さを求めよ。

【(1)の考え方と解答】
真面目（？）に比が等しいことを考えて式を立てて，ACを求めると次のようになる。

$\begin{align*} \text{AB}:\text{AC}=5:3 \end{align*}$

であるから

$\begin{align*} 5\text{AC}&=3\text{AB} \\[4pt] \text{AC}&=\dfrac{3}{5}\text{AB} \\[4pt] &=\dfrac{3}{5}\times15=9 \end{align*}$

この方法でもACの長さを求めることができるため，この方法でも良いのだが，小学校で学んだはずの「比」や「割合」を利用するべきである。
この問題の場合は，

$\text{AB}:\text{AC}=5:3$ から「ACの長さはABの

$\dfrac{3}{5}$ である」とスムーズに読み替えることができるようにしよう。この考え方ができるようになると，

$\begin{align*} \text{AC}&=\text{AB}\times\dfrac{3}{5} \\[4pt] &=15\times\dfrac{3}{5}=12 \end{align*}$

となり，比の式を立てることなくACの長さを直接求めることができるようになる。
ここで

$\dfrac{3}{5}$ は

$\text{AC}:\text{AB}$ の比の値を表すが，これは

$\sin\theta$ であるから，

$\begin{align*} \text{AC}=\text{AB}\sin\theta \end{align*}$

となる。「比」や「割合」をしっかりと理解・活用している人は，三角比を学ぶ上でスタート時点で既に有利になっている。
BCの長さもABの長さの

$\dfrac{4}{5}$ になることがすぐに分かる。この

$\dfrac{4}{5}$ は角

$\theta$ を用いて

$\cos\theta$ と表すことができるから，次のように，BCの長さを求めることができる。

$\begin{align*} \text{BC}&=\text{AB}\cos\theta \\[4pt] &=15\times\dfrac{4}{5}=12 \end{align*}$

(2) $\text{BC}=5$ のとき，AC, ABの長さを求めよ。

【(2)の考え方と解答】
BCの長さからACの長さを求めるから，

$\dfrac{高さ}{底辺}$ を掛ければよい。

これは

$\tan\theta$ であるから，

$\begin{align*} \text{AC}&=\text{BC}\tan\theta \\[4pt] &=5\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{4} \end{align*}$

となる。
また，ABの長さを求める場合は，

$\dfrac{斜辺}{底辺}$ を掛ければよい。あえて三角比を用いて表すと，次のようにABの長さを求めることができる。

$\begin{align*} \text{AB}&=\text{BC}\times\dfrac{1}{\cos\theta} \\[4pt] &=5\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{25}{4} \end{align*}$

ヒロ

斜辺から高さを求めたり，斜辺から底辺を求める計算は頻出なので，比の式を経由せずに，三角比を用いて表せるようにしておこう。

辺の長さを求める問題

問題次の三角形において

$a$ を求めよ。
(1)

(2)

【(1)の考え方と解答】
60°が1つの角になるように，補助線を引いて直角三角形を作ろう。そのために点Cから辺ABに垂線CHを下ろすと，

$\kaku{ACH}=30\Deg$ ,

$\kaku{BCH}=45\Deg$ となる。

$\sankaku{ACH}$ に着目すると

$\begin{align*} \text{AH}&=\text{AC}\cos60\Deg \\[4pt] &=2\times\dfrac{1}{2}=1 \\[4pt] \text{CH}&=\text{AC}\sin60\Deg \\[4pt] &=2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \end{align*}$

$\sankaku{BCH}$ に着目して

$\begin{align*} \text{BC}&=\text{CH}\times\dfrac{1}{\cos45\Deg} \\[4pt] &=\sqrt{3}\times\sqrt{2}=\sqrt{6} \end{align*}$

よって，

$a=\sqrt{6}$

【(2)の考え方と解答】

$\kaku{ACB}$ が90°かどうかは分からない。推測して

$a$ を求める方法もあるが，今回は推測せずに考える。
点Cから辺ABに垂線CHを下ろす。

$\sankaku{ACH}$ に着目して

$\begin{align*} \text{CH}&=\text{AC}\sin30\Deg \\[4pt] &=3\sqrt{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \text{AH}&=\text{AC}\cos30\Deg \\[4pt] &=3\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9}{2} \end{align*}$

これより

$\begin{align*} \text{BH}&=\text{AB}-\text{AH} \\[4pt] &=6-\dfrac{9}{2}=\dfrac{3}{2} \end{align*}$

$\sankaku{BCH}$ に着目すると三平方の定理より

$\begin{align*} \text{BC}&=\sqrt{\text{BH}^2+\text{CH}^2} \\[4pt] &=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} \\[4pt] &=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{4}}=\sqrt{9} \\[4pt] &=3 \end{align*}$

ヒロ

この結果から，三角形ABCは実は三角定規の直角三角形だったことが分かる。

辺の長さを求める問題2

問題図のような三角形ABCにおいて，

$\text{AB}=4$ ,

$\text{BC}=3$ ,

$\kaku{ADC}=60\Deg$ ,

$\kaku{ABC}=\theta$ であるとき，以下の問いに答えよ。

(1)

$\sin\theta,~\tan\theta$ の値を求めよ。
(2) 線分AD，CDの長さを求めよ。

【(1)の考え方と解答】

$\sankaku{ABC}$ において三平方の定理を適用して

$\begin{align*} \text{AC}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7} \end{align*}$

となるから

$\begin{align*} &\sin\theta=\dfrac{\sqrt{7}}{4} \\[4pt] &\cos\theta=\dfrac{3}{4} \\[4pt] &\tan\theta=\dfrac{\sqrt{7}}{3} \end{align*}$

(2) 線分AD，CDの長さを求めよ。

【(2)の考え方と解答】

$\sankaku{ACD}$ に着目して考える。

$\text{AC}=\text{AD}\sin60\Deg$ であるから

$\begin{align*} \text{AD}&=\dfrac{\text{AC}}{\sin60\Deg} \\[4pt] &=\sqrt{7}\times\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3} \end{align*}$

また，

$\text{AC}=\text{CD}\tan60\Deg$ より

$\begin{align*} \text{CD}&=\dfrac{\text{AC}}{\tan60\Deg} \\[4pt] &=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{21}}{3} \end{align*}$

辺の長さを求める問題3

問題長方形ABCDにおいて，

$\text{AB}=a$ ,

$\kaku{ADB}=\theta$ とする。Aから対角線BDに下ろした垂線をAHとするとき，次の線分の長さを，

$\theta$ の三角比と

$a$ を用いて表せ。

(1) AD
(2) BD
(3) AH

【(1)の考え方と解答】
いま求めたいのはADの長さだから，ADを含む三角形を考える。その中で，既に長さが分かっているABと

$\theta$ を含む三角形を探すと

$\sankaku{ABD}$ が見つかる。したがって

$\begin{align*} &\text{AD}\tan\theta=\text{AB} \\[4pt] &\text{AD}=\dfrac{\text{AB}}{\tan\theta} \\[4pt] &\text{AD}=\dfrac{a}{\tan\theta} \end{align*}$

【(2)の考え方と解答】

$\sankaku{ABD}$ に着目して

$\begin{align*} &\text{BD}\sin\theta=\text{AB} \\[4pt] &\text{BD}=\dfrac{\text{AB}}{\sin\theta} \\[4pt] &\text{BD}=\dfrac{a}{\sin\theta} \end{align*}$

【(3)の考え方と解答】

$\sankaku{ABH}$ に着目すると，

$\kaku{BAH}=\theta$ である。

$\begin{align*} \text{AH}&=\text{AB}\cos\theta \\[4pt] &=a\cos\theta \end{align*}$

ヒロ

$\kaku{BAH}=\theta$ であることがすぐに分かるようにしよう。