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【数学は暗記】大学受験の数学で覚えておくべきこと

大学受験の数学で覚えるべきものとは?勉強法
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数学は暗記か理解かということについては,色々な意見があると思います。

確かに理解することが重要ということは言うまでもありません。しかし,ギリシャ文字の読み方や書き方などは,理解抜きで単純に覚えるしかないでしょう。

例えば $\delta$ を見て「デルタ」と読むことを知らないといったところで,問題文に書かれていれば,使わざるを得ません。

知らない文字を書くのは至難の業で,正しく書けるとは思えません。そのため,本来とは異なる文字を書いてしまうこともあり,それで減点されるのは勿体ないですね。減点で済めば良い方で,何を書いているか理解してもらえないことも起こり得ます。

また,定義などは理解するというより,考えを受け入れるという感じです。何をするにもルールがあり,数学では定義がルールに相当します。

例えばベクトルを学ぶときに,ベクトルの定義を知らないのでは,話が進みません。こういうものをベクトルと言いますよと言われたときに,分かるとか分からないとかいう話ではないです。

定義の時点で分からないという人は,定義が分からないのではなく,何故そういうものを考えるのかが分からないのではないでしょうか?

新しい概念を学ぶときに,何故それを考えるのかとか考えるのは得策ではないです。とりあえず,新しい概念を素直に受け入れましょう。

したがって,定義については,何故そう言うものを考えるのか理解できるとか関係なく,受け入れて覚えるしかありません。ただし,当然ですが,何を言っているか,中身については理解する必要があります。

このように,数学にも暗記すべきものがたくさんあります。一言で暗記といっても,単純暗記するものや意味を理解しつつ覚えるものなど,いろいろありますが,覚えるべきものをしっかり覚えることが重要です。

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定義を知らないと問題を解くことはできない

数学が苦手な人が「分かりません」と言って質問してきた場合,実は問題を解くことができない原因が,定義を知らないことにあることが多いです。

つまり「分からない」のではなく「知らない」のです。

例えば,あなたに質問してきた高校生がいるとします。そこで見せられた問題が「2の平方根を求めよ。」という問題だったら,どう感じるでしょうか?

ほとんどの人が「この人は平方根の意味を知っているの?」と思うはずです。もはや,分かるとか分からないとかの話ではなく,平方根がどういうものか知らないだけなのではないでしょうか。

今のは簡単すぎる例ですが,「定義にしたがって微分せよ。」という問題なんて,それこそ定義を知らなければ解けるはずがありません。そういう問題に対して「分かりません」とか「思いつきません」というのは,解けない理由になってませんよね。

数学において,定義はその単元のルールです。ルールを知らないのでは,問題を解くことなんてできません。

しっかりと定義を覚えて,そこから導き出される定理・公式を使えるようにすることが重要です。

数学記号の意味を知らないと公式丸暗記では通用しない

記号と言っても,さすがに記号自体を忘れる人はいないでしょう。忘れるのは記号の意味です。

$\Sum{k=1}{n}k^3$ を計算することはできても,$\Sum{k=2}{n-1}k^3$ を計算できない人は意味を考えずに公式を丸暗記しているだけなので,記号の意味をしっかり理解することが重要です。

公式をそのまま使えないように少し変えられたときに,まったく手が出ないというのでは,数学の成績を上げることはできません。

新しい記号,例えば,組み合わせ・順列・シグマなどについては,計算方法だけを覚えるのではなく,その意味も理解して覚えるようにしましょう。

ギリシャ文字の読み方と書き方

例えば $\alpha$ を見て「エイ」と読む人がいますが,正しくは「アルファ」です。こういうことを言うと,本人が分かっていれば良いという人がいますが,それで良いのでしょうか?

$a\alpha+b\beta$ という式が出てきたら,どう読むのでしょうか?文字を正しく読めないというのは,逆に言えば,授業を受けていても,何のことを言っているのか分からなくなる場合があるということです。

そんなことにならないために,それぞれの文字の読み方とどんな文字かを知っておきましょう。具体的には,次のギリシャ文字の読み方や使うときの例を知っておくと良いでしょう。

$\alpha$:アルファ$\cdots$方程式の解,複素数
$\beta$:ベータ$\cdots$方程式の解,複素数
$\gamma$:ガンマ$\cdots$方程式の解,複素数
$\Delta$:デルタ$\cdots$変化量
$\delta$:デルタ$\cdots$方程式の解,複素数
$\theta$:シータ$\cdots$角
$\pi$:パイ$\cdots$円周率
$\Sigma$:シグマ$\cdots$数列の和
$\sigma$:シグマ$\cdots$標準偏差
$\phi,~\varphi$:ファイ$\cdots$角
$\omega$:オメガ$\cdots$複素数,1の3乗根

数学用語を知らないと問題文の意味を読み取ることができない

数学用語についても,しっかりと意味を理解して覚える必要があります。

問題を見て,分からないときに「難しいから分からない」と悩む人がいますが,本当にそれは難問なのでしょうか?

例えば「$\alpha$ は方程式 $f(x)=0$ の解である。」という記述を見たときに「方程式の解」が何であるか知らなければ,何をどうすれば良いのか分からないでしょう。

しかし,「方程式 $f(x)=0$ の解とは,$f(x)=0$ を満たす $x$ の値である」と知っていれば,$f(\alpha)=0$ が成り立つことが簡単に分かります。

また「平方根をとる」という言い方は,知らない人にとってはよく分からない言い方でしょう。

例えば「5の正の平方根をとる」とあれば「$\sqrt{5}$」のことです。知らない人からすれば,$\sqrt{~~}$ が付いてるのに「とる」という逆の意味の言葉が使われていることで,解説を読んでも分からない状態になる場合があります。

ちなみに,この場合は「5の正の平方根を求める」という意味です。また同様のことが対数関数の単元でも起こります。「5の常用対数をとる」の意味は「5の常用対数の値を求める」で,$\log_{10}5$ となります。

授業などでは「$\log$ をとる」などと言われることもあり,「とるのに付けるとか意味わからん」とか言ってる場合ではないのです。数学用語や表現方法を知らないと損をするのはあなたです。

例を挙げればきりがないのですが,逆数をとる・同類項・降べきの順・移項などについても,それらの意味を知らないと解説を読んでも分からないという状態になります。

英語を勉強しているときに,意味の分からない単語があれば調べるのに,数学になると調べることすらしない人は想像以上に多いです。

数学でも同じように,その都度,新しい用語の意味を調べて理解するようにしましょう。

典型問題の解法と考え方

典型問題の解法を考え方も理解して覚えましょう。

例えば「$\sqrt{2}$ が無理数であることを示せ。」という有名問題では,背理法で証明するというのが分かるのは習ったことを覚えているか,一部の天才だけです。

「そんなの思いつかない」と言って,解法や考え方を理解して覚えようとしないのであれば,解ける問題を増やすことができません。むしろ「そう考えれば良かったのか!」と好意的に考えを受け入れるべきです。

考え方を知らない以上,考え方を知って使えることにすることが最も大切なことです。

ヒロが背理法を指導するときには「否定形で書かれていたり,否定語がつかわれている場合は背理法で証明することを考えよう」と教えられます。しかし,これは抽象的な言い方です。

一般的に,抽象的な表現を理解するためには,具体例を知っておくことが必要です。

したがって,様々な問題に対して「こういう問題はこのように考えよう」と言われたところで,その具体例を1つも知らないと,言われている意味を理解することができません。

そうならないためにも,典型問題や有名問題の解法と考え方については,考え方を抽象化するための具体例だと思って理解して覚えましょう

大学受験の数学は暗記でどうにかなる

学問としての数学は暗記ではありません。しかし,大学受験の数学は暗記でどうにかなります。ただし,一言で暗記といっても,意味を考えない丸暗記ではありません。考え方を理解した上で,その考え方と解法パターンを覚えるという意味の暗記です。

本当の意味でヒラメキが必要な問題が出題された場合,ほとんどの人はその問題を解くことができません。

したがって,ごく一部の人だけが解ける難しすぎる問題は合否に関係ないということになります。ということは,そんなほとんどの人が解けないような難問を解けなくても,志望大学に合格することができるはずです。

ただし,大学によって,難しすぎる問題のレベルは異なるため注意が必要です。例えば,地方国公立大では難しすぎる問題であっても,東京大学や京都大学では標準レベルということはよくあります。

そういうことも含めて,実際に合否に関係するのは基本問題や標準問題であることがほとんどです。

ただ,1つ1つの問題の解法と考えを覚えていくというようなことをしていては大変です。1つの考え方を使うことで,より多くの問題を解くことができるように,考え方を一般化・抽象化することが重要です。

そのためには,1つの問題に対して,複数の解法を知ることが重要です。そうすることで,1つの問題から学ぶことが多くなり,少ない問題数で,多くの知識を手に入れることができます。

また,複数の単元の知識のつながりが強化されるため,柔軟な考え方ができるようになります。その結果,新しい考え方を習ったときでも,すぐに対応することができ,理解しやすく・覚えやすくなります。

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