【数学ⅡB】3つの線分の長さの和の最小値【慶應義塾大】

【(1)の考え方と解答】
　「直線に関して対称な点」の最後に書いたように，直線 $y=x$ に関して対称な点の座標は，$x$ 座標と $y$ 座標を入れ換えれば良いから，A$'(3,~4)$ である。また，直線 $m:y=0$ は $x$ 軸であるから，$y$ 座標の符号を変えて，B$'(8,~-2)$ となる。

【(2)の考え方と解答】
　直線 $l$ の方程式が $y=x$ であることから，平面上の点の $x$ 座標と $y$ 座標が等しいとき，その点は $l$ 上にある。つまり，点の $x$ 座標と $y$ 座標の大小関係を確認することで，$l$ に関して同じ側にあるか反対側にあるかを判別できる。
　2点A，Bの座標をみると，ともに $x$ 座標が $y$ 座標より大きいから直線 $l$ に対して同じ側にあることが分かる。図を描いて確認しても良い。

2点A，Bが $l$ に対して反対側になるように，一方の点を $l$ に関して対称移動させよう。(1)で $l$ に関して点Aと対称な点A$’$ を求めているから，この点を利用しよう。

点Pが直線A$’$Bと直線 $l$ の交点に一致するとき，$\text{AP}+\text{PB}$ が最小になる。直線A$’$Bの傾きは
であるから，直線の方程式は
$y=x$ と連立させて，$y$ を消去すると
よって，求める点Pの座標は $\left(\dfrac{26}{7},~\dfrac{26}{7}\right)$

【(3)の考え方と解答】
　(2)で直線 $l$ に着目したときに，2点A，Bが $l$ に対して同じ側にあったから，反対側になるように点A$’$ をとって考えた。これによって，点Qが $l$ 上にあるときは常に $\text{AQ}+\text{QB}=\text{A}’\text{Q}+\text{QB}$ が成り立つ。したがって，直線 $l$ を気にする必要がなくなったので，直線 $m$ に着目しよう。

　2点A$’$，Bは直線 $m$ に対して同じ側にあるから，2点A$’$，Bのうちどちらかを $m$ に関して対称移動させる。もし点A$’$ を対称移動させて点A$’$$’$ を考えると，$l$ に対して2点A$’$$’$，Bが同じ側にあるから，これでは意味がない。つまり点Bを $m$ に関して対称移動させればよいことが分かる。また，このことは(1)でB$’$ を求めたことを考えると「誘導になっているんだ」と納得がいくだろう。

　$\text{RB}=\text{RB}’$ であるから，
となる。これが最小になるのは，線分A$’$B$’$ 上に2点Q，Rがあるときで，最小値は線分A$’$B$’$ の長さとなる。

　直線A$’$B$’$ の傾きは
であるから，直線A$’$B$’$ の方程式は
①と $y=x$ を連立させて，$y$ を消去すると
また，①と $y=0$ を連立させると
よって，求める点Q，Rの座標はそれぞれ
※点Aから点Bへの最短経路を示すと次のようになる。