【数学ⅡB】円と直線の共有点【立教大・青山学院大】

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円と直線の共有点を求める問題【青山学院大】

2009年青山学院大　$c$ を整数とする。$xy$ 平面において，点$(1,~3)$ を中心とする半径 $\sqrt{c^2+1}$ の円と直線 $x+y=2c+3$ が2点で交わり，その交点の $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数であるとする。
　このとき $c$ の値が $\myBox{ア}$，交点の座標が $\left(\myBox{イ},~\myBox{ウ}\right)$，$\left(\myBox{エ},~\myBox{オ}\right)$ であるか，$c$ の値が $\myBox{カ}$，交点の座標が $\left(\myBox{キ},~\myBox{ク}\right)$，$\left(\myBox{ケ},~\myBox{コ}\right)$ であるかのどちらかである。
　ただし $\myBox{ア}<\myBox{カ}$，$\myBox{イ}<\myBox{エ}$，$\myBox{キ}<\myBox{ケ}$ とする。

【考え方と解答】
　円の方程式が与えられていないので，まずは円の方程式を求めよう。点 $(1,~3)$ を中心とし，半径が $\sqrt{c^2+1}$ の円の方程式は

\begin{align*} (x-1)^2+(y-3)^2=c^2+1~\cdots\cdots① \end{align*}

円①と直線 $x+y=2c+3~\cdots\cdots②$ の交点の座標を求めるために $x$ か $y$ のどちらかを消去しよう。定数項に3があるから，$y$ を消去する。
　②より，$y=-x+2c+3$ であるから，①に代入すると

\begin{align*} &(x-1)^2+(-x+2c)^2=c^2+1 \\[4pt] &2x^2-2(2c+1)x+3c^2=0~\cdots\cdots③ \end{align*}

ここで分かっていることを整理しよう。

$c$ は整数である。
円①と直線②は2点で交わる。
①と②の交点は格子点である。

※$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点を格子点という。
　$c$ の値が決まれば，③を解くことで交点の $x$ 座標を求めることができる。$c$ が整数であることから，$c$ のとり得る値の範囲を絞ることができれば，$c$ の候補を1つずつ調べることができる。$c$ の範囲を絞り込むためには，$c$ に関する不等式を立てる必要がある。
　ここで「円①と直線②は2点で交わる」を数式で表すことを考えると，「③の判別式 $D$ が正」という不等式になる。この不等式は係数だけが関係するものだから，$c$ の不等式になり，これを解くことで $c$ のとり得る値の範囲を絞り込むことができる。
　ということで，③の判別式を計算しよう。

\begin{align*} D/4&=(2c+1)^2-6c^2 \\[4pt] &=-2c^2+4c+1 \end{align*}

$D>0$ より

\begin{align*} &2c^2-4c-1<0 \\[4pt] &\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}<c<\dfrac{2+\sqrt{6}}{2} \end{align*}

$2<\sqrt{6}<3$ より，

\begin{align*} -\dfrac{1}{2}<\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}<0,~2<\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}<\dfrac{5}{2} \end{align*}

ただし，上の数直線の $\alpha,~\beta$ は

\begin{align*} \alpha=\dfrac{2-\sqrt{6}}{2},~\beta=\dfrac{2+\sqrt{6}}{2} \end{align*}

とする。

$c$ は整数であるから，$c=0,~1,~2$

これで $c$ の値が3つに絞り込むことができたから，1つずつ調べていく。空欄からは3つのうち1つだけ不適になることが分かる。
(i) $c=0$ のとき
③より

\begin{align*} &2x^2-2x=0 \\[4pt] &x(x-1)=0 \\[4pt] &x=0,~1 \end{align*}

②より，$x=0$ のとき，$y=3$ となり，$x=1$ のとき，$y=2$ となる。
(ii) $c=1$ のとき
③より

\begin{align*} &2x^2-6x+3=0 \\[4pt] &x=\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{2} \end{align*}

$x$ が整数でないから不適。
(iii) $c=2$ のとき
③より

\begin{align*} &2x^2-10x+12=0 \\[4pt] &x^2-5x+6=0 \\[4pt] &(x-2)(x-3)=0 \\[4pt] &x=2,~3 \end{align*}

②より，$x=2$ のとき，$y=5$ となり，$x=3$ のとき，$y=4$ となる。
　以上より，求める $c$ の値と交点の座標は次のようになる。
　$c=0$ のとき，交点の座標は $(0,~3),~(1,~2)$
　$c=2$ のとき，交点の座標は $(2,~5),~(3,~4)$