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【数学ⅡB】三角関数の和積公式と積和公式【北見工業大・首都大学東京】

積和公式と和積公式数学IAIIB
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和積公式

ヒロ
ヒロ

和積公式とは次のようなものである。

和積公式
  1. $\displaystyle
    \sin A+\sin B=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}~\cdots\cdots⑤
    $
  2. $\displaystyle
    \sin A-\sin B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}~\cdots\cdots⑥
    $
  3. $\displaystyle
    \cos A+\cos B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}~\cdots\cdots⑦
    $
  4. $\displaystyle
    \cos A-\cos B=-2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}~\cdots\cdots⑧
    $

積和公式の導出

ヒロ
ヒロ

それでは加法定理を利用して,積和公式を導出しよう。

$\displaystyle
\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}~\cdots\cdots①
$
【①の導出】
「サイン×コサイン」を和の形に変形したいとき,サイン×コサインが現れる加法定理を考える。それはサインの加法定理であるから,次の2本を考える。
\begin{align*}
&\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta~\cdots\cdots⑨ \\[4pt]&\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta~\cdots\cdots⑩
\end{align*}
$⑨+⑩$ より
\begin{align*}
&\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta \\[4pt]&\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
\end{align*}

「これだけの作業」で①を導くことができた。この作業を数秒でできるなら,暗記する必要はないだろう。
ヒロ
ヒロ

ただ,書くのが面倒に感じると思うので,書き方を工夫することで速く楽に書くことができる。

【書き方の工夫例】
 2つの角 $\alpha,~\beta$ は,この順に現れるから,角を書くのを省略する。また,$\sin$ を $s$,$\cos$ を $c$ と書く。したがって,$\sin(\alpha+\beta)$ を $s_+$,$\sin(\alpha-\beta)$ を $s_-$ と書き,$\sin\alpha\cos\beta$ を $sc$ と書く。
 この書き方だと,上で書いた⑨と⑩の加法定理は次のように表せる。
\begin{align*}
&s_+=sc+cs \\[4pt]&s_-=sc-cs
\end{align*}
辺々を足して2で割れば,右辺が $sc$ になることが分かるから
\begin{align*}
sc=\dfrac{1}{2}(s_++s_-)
\end{align*}
この式は
\begin{align*}
\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
\end{align*}
を表している。角を省略する書き方では混乱するのであれば,$sc$ を $s_{\alpha}c_{\beta}$ と書くのも良いだろう。
ヒロ
ヒロ

以降の導出では,上のような省略した書き方で説明することにする。

$\displaystyle
\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}~\cdots\cdots②
$
【②の導出】
コサイン×サインが現れるのはサインの加法定理である。
\begin{align*}
&s_+=sc+cs \\[4pt]&s_-=sc-cs
\end{align*}
辺々を引いて2で割れば,右辺が $cs$ になるから
\begin{align*}
cs=\dfrac{1}{2}(s_+-s_-)
\end{align*}

$\displaystyle
\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}~\cdots\cdots③
$
【③の導出】
サイン×サインが現れるのはコサインの加法定理である。
\begin{align*}
&c_+=cc-ss \\[4pt]&c_-=cc+ss
\end{align*}
辺々を引いて $-2$ で割れば,右辺が $ss$ になるから
\begin{align*}
ss=-\dfrac{1}{2}(c_+-c_-)
\end{align*}

$\displaystyle
\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}~\cdots\cdots④
$
【④の導出】
コサイン×コサインが現れるのはコサインの加法定理である。
\begin{align*}
&c_+=cc-ss \\[4pt]&c_-=cc+ss
\end{align*}
辺々を足して2で割れば,右辺が $cc$ になるから
\begin{align*}
cc=\dfrac{1}{2}(c_++c_-)
\end{align*}

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