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平行四辺形の頂点の座標【獨協医科大】
2007年 獨協医科大$xy$ 平面上に3点 $(-2,~0)$, $(4,~6)$, $(2,~-4)$ がある。この3点を頂点とする平行四辺形の残りの1頂点となり得る点は，$y$ 座標が大きい方から順に $\left(\myhako,~\myhako\right)$, $\left(\myhako,~\myhako\right)$, $\left(\myhako,~\myhako\right)$ である。
【考え方と解答】
この問題では，求めるべき点が3つあることが初めから分かっているが，中には点をいくつ求めるのか分かっていない問題もある。一般的に，平面上に3点が与えられているときに，その3点を頂点とする平行四辺形の残りの頂点は3つあることは常識にしておこう。
与えられている3点をA，B，Cとして図示すると次のようになる。
四角形ABPC，四角形ACBQ，四角形ABCRが平行四辺形になる3点P，Q，Rを求める。点Pは次のような位置にある。
中学生なら次のようにして求めるだろう。
ACとBPが平行だから，AからCへ移動する方法を確認する。点Aから右に4，下に4移動すると点Cになるから，点Bからも同じように移動して，P$(8,~2)$ となる。次に点Qの座標を求める。
CからAに移動するには，左に4，上に4移動すれば良いから，点Bからも同じように移動すると，Q$(0,~10)$ であることが分かる。最後に点Rの座標を求める。
BからAへ移動するには，左に6，下に6移動すれば良いから，点Cからも同じように移動すると，R$(-4,~-10)$ であることが分かる。
この問題では，求めるべき点が3つあることが初めから分かっているが，中には点をいくつ求めるのか分かっていない問題もある。一般的に，平面上に3点が与えられているときに，その3点を頂点とする平行四辺形の残りの頂点は3つあることは常識にしておこう。
与えられている3点をA，B，Cとして図示すると次のようになる。
四角形ABPC，四角形ACBQ，四角形ABCRが平行四辺形になる3点P，Q，Rを求める。点Pは次のような位置にある。
中学生なら次のようにして求めるだろう。
ACとBPが平行だから，AからCへ移動する方法を確認する。点Aから右に4，下に4移動すると点Cになるから，点Bからも同じように移動して，P$(8,~2)$ となる。次に点Qの座標を求める。
CからAに移動するには，左に4，上に4移動すれば良いから，点Bからも同じように移動すると，Q$(0,~10)$ であることが分かる。最後に点Rの座標を求める。
BからAへ移動するには，左に6，下に6移動すれば良いから，点Cからも同じように移動すると，R$(-4,~-10)$ であることが分かる。
ヒロ
解き方にこだわらなければ，この程度の問題であれば，上で説明したように誰でも解けるはずである。
ヒロ
これを「点の座標を求めるときは文字で置こう！そして平行四辺形の対角線は中点で交わることを利用するんだ！」と言って，そのまま意味も分からずその通りの解き方を覚えて，それしかできなくなるようでは「すべて丸暗記」から抜け出すことはできないだろう。
ヒロ
とりあえず，その方法の解答も載せておく。
【別の考え方と解答】
求める点の座標をP$(x,~y)$ とおく。
(i) 四角形ABPCが平行四辺形になるとき
APとBCの中点が一致するから
CPとABの中点が一致するから
BPとACの中点が一致するから
求める点の座標をP$(x,~y)$ とおく。
(i) 四角形ABPCが平行四辺形になるとき
APとBCの中点が一致するから
\begin{align*}
&\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{4+2}{2},~\dfrac{y+0}{2}=\dfrac{6-4}{2} \\[4pt]
&x=8,~y=2
\end{align*}
(ii) 四角形ACBPが平行四辺形になるとき&\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{4+2}{2},~\dfrac{y+0}{2}=\dfrac{6-4}{2} \\[4pt]
&x=8,~y=2
\end{align*}
CPとABの中点が一致するから
\begin{align*}
&\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{-2+4}{2},~\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{0+6}{2} \\[4pt]
&x=0,~y=10
\end{align*}
(iii) 四角形ABCPが平行四辺形になるとき&\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{-2+4}{2},~\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{0+6}{2} \\[4pt]
&x=0,~y=10
\end{align*}
BPとACの中点が一致するから
\begin{align*}
&\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{-2+2}{2},~\dfrac{y+6}{2}=\dfrac{0-4}{2} \\[4pt]
&x=-4,~y=-10
\end{align*}
以上より，求める点の座標は&\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{-2+2}{2},~\dfrac{y+6}{2}=\dfrac{0-4}{2} \\[4pt]
&x=-4,~y=-10
\end{align*}
\begin{align*}
(8,~2),~(0,~10),~(-4,~-10)
\end{align*}
(8,~2),~(0,~10),~(-4,~-10)
\end{align*}