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2019年センター試験 数学ⅠA 第1問 数と式

2019年 センター数学ⅠA 数と式数学IAIIB
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2019年センター試験 数学ⅠA 第1問 数と式の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2019年 センターⅠA 第1問 数と式 $a$ を実数とする。
 $9a^2-6a+1=\left(\myBox{ア}\,a-\myBox{イ}\right)^2$ である。次に
\begin{align*}
A=\sqrt{9a^2-6a+1}+\abs{a+2}
\end{align*}
とおくと
\begin{align*}
A=\sqrt{\left(\mybox{ア}\,a-\mybox{イ}\right)^2}+\abs{a+2}
\end{align*}
である。
 次に三つの場合に分けて考える。
  • $a>\dfrac{1}{3}$ のとき,$A=\myBox{ウ}\,a+\myBox{エ}$ である。
  • $-2\leqq a\leqq\dfrac{1}{3}$ のとき,$A=\myBox{オカ}\,a+\myBox{キ}$ である。
  • $a<-2$ のとき,$A=-\mybox{ウ}\,a-\mybox{エ}$ である。

 $A=2a+13$ となる $a$ の値は

\begin{align*} \myBox{ク},~\dfrac{\myBox{ケコ}}{\myBox{サ}} \end{align*}
である。

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考え方と解答

ヒロ
ヒロ

最初は因数分解する問題だね。

【アイの解答】
2乗の形に因数分解できることが分かっているから,簡単に因数分解できるだろう。
\begin{align*}
9a^2-6a+1=(3a-1)^2
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は $A$ を根号を用いずに表す問題。

$\sqrt{x^2}=x$ としないように!
ヒロ
ヒロ

正しくは $\sqrt{x^2}=\abs{x}$ だね。

【ウ~キの解答】
$A$ を変形すると,
\begin{align*}
A&=\sqrt{(3a-1)^2}+\abs{a+2} \\[4pt]
&=\abs{3a-1}+\abs{a+2}
\end{align*}
よって,$a>\dfrac{1}{3}$ のとき
\begin{align*}
A=(3a-1)+(a+2)=4a+1
\end{align*}
$-2\leqq a\leqq\dfrac{1}{3}$ のとき
\begin{align*}
A=-(3a-1)+(a+2)=-2a+3
\end{align*}
$a<-2$ のとき
\begin{align*} A=-(3a-1)-(a+2)=-4a-1
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は方程式を解くだけの簡単な作業。

【ク~サの解答】 $a>\dfrac{1}{3}$ のとき
\begin{align*}
&4a+1=2a+13 \\[4pt]
&a=6
\end{align*}
これは $a>\dfrac{1}{3}$ を満たす。
$-2\leqq a\leqq\dfrac{1}{3}$ のとき
\begin{align*}
&-2a+3=2a+13 \\[4pt]
&a=-\dfrac{5}{2}
\end{align*}
これは $-2\leqq a\leqq\dfrac{1}{3}$ を満たさない。
$a<-2$ のとき
\begin{align*}
&-4a-1=2a+13 \\[4pt]
&a=-\dfrac{7}{3}
\end{align*}
これは $a<-2$ を満たす。よって,求める $a$ の値は
\begin{align*}
a=6,~\dfrac{-7}{3}
\end{align*}

2019年 センター数学ⅠA 数と式を解いた感想

ヒロ
ヒロ

$\sqrt{x^2}=\abs{x}$ と正しく変形できる人にとっては,簡単な問題だろう。

ヒロ
ヒロ

第1問の最初の問題で,簡単なのでサクサク解いて勢いに乗れるだろう。

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