【数学ⅡB】2直線の交点の軌跡【福島大・熊本大・富山大】

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1 2直線の交点の軌跡【福島大】
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1 2直線の交点の軌跡【熊本大】
2 2直線の交点の軌跡【富山大】

2直線の交点の軌跡【熊本大】

2019年熊本大座標平面上の直線

$l$ を

$y=ax-a-2$ ，直線

$m$ を

$y=bx+3b$ とおく。直線

$l$ と直線

$m$ は互いに直交しながら座標平面上を動くとする。ただし，

$a,~b$ は

$l$ と

$m$ の条件を保ちながら実数値をとって変化するものとする。直線

$l$ と直線

$m$ の交点Pの軌跡を求めよ。

【考え方と解答】
2直線

$l,~m$ が直交しているから，

$\begin{align*} ab=-1~\cdots\cdots① \end{align*}$

が成り立つ。

$y=ax-a-2$ を変形すると

$\begin{align*} y=a(x-1)-2 \end{align*}$

となるから，直線

$l$ は

$a$ の値にかかわらず，点A

$(1,~-2)$ を通る。ただし，直線

$x=1$ と一致することはない。また，

$y=bx+3b$ を変形すると

$\begin{align*} y=b(x+3) \end{align*}$

となるから，直線

$m$ は

$b$ の値にかかわらず，点B

$(-3,~0)$ を通る。ただし，直線

$x=-3$ と一致することはない。
以上のことから，2直線

$l,~m$ の交点Pの軌跡は，2点A，Bを直径の両端とする円となる。ただし，2点

$(1,~0)$ ，

$(-3,~-2)$ を除く。
線分ABの中点の座標は

$(-1,~-1)$ であり，

$\begin{align*} \text{AB}&=\sqrt{(1+3)^2+(0+2)^2} \\[4pt] &=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \end{align*}$

であるから，点Pの軌跡は，中心

$(-1,~-1)$ ，半径

$\sqrt{5}$ の円である。ただし，2点

$(1,~0)$ ，

$(-3,~-2)$ を除く。

2直線の交点の軌跡【富山大】

2015年富山大

$m$ を実数とする。方程式

$\begin{align*} mx^2-my^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0~\cdots\cdots(*) \end{align*}$

を考える。このとき，次の問いに答えよ。
(1)

$xy$ 平面において，方程式(＊)が表す図形は2直線であることを示せ。
(2) (1)で求めた2直線は

$m$ の値にかかわらず，それぞれ定点を通る。これらの定点を求めよ。
(3)

$m$ が

$-1\leqq m\leqq3$ の範囲を動くとき，(1)で求めた2直線の交点の軌跡を図示せよ。

【(1)の考え方と解答】
方程式(＊)を因数分解しよう。(＊)より

$\begin{align*} &mx^2+(1-m^2)yx-\{my^2-5(1+m^2)y+25m\}=0 \\[4pt] &mx^2+(1-m^2)yx-(my-5)(y-5m)=0 \\[4pt] &(mx+y-5m)(x-my+5)=0 \\[4pt] &mx+y-5m=0~\cdots\cdots① \\[4pt] &または~~x-my+5~\cdots\cdots② \end{align*}$

ここで，①と②について

$\begin{align*} m\Cdota1+1\Cdota(-m)=0 \end{align*}$

が成り立つから，①と②は直交する2直線である。
したがって，(＊)は2直線①，②を表す。

(2) (1)で求めた2直線は $m$ の値にかかわらず，それぞれ定点を通る。これらの定点を求めよ。

【(2)の考え方と解答】
①を

$m$ について整理すると

$\begin{align*} m(x-5)+y=0 \end{align*}$

となるから，

$m$ の値にかかわらず①が成り立つのは

$\begin{align*} x-5=0~かつ~~y=0 \end{align*}$

となるとき，すなわち

$x=5,~y=0$ となるときである。
よって，直線①は

$m$ の値にかかわらず定点

$(-5,~0)$ を通る。
②を

$m$ について整理すると

$\begin{align*} (x+5)-my=0 \end{align*}$

となるから，

$m$ の値にかかわらず②が成り立つのは

$\begin{align*} x+5=0~かつ~~y=0 \end{align*}$

となるとき，すなわち

$x=-5,~y=0$ となるときである。
よって，直線②は

$m$ の値にかかわらず定点

$(5,~0)$ を通る。

(3) $m$ が $-1\leqq m\leqq3$ の範囲を動くとき，(1)で求めた2直線の交点の軌跡を図示せよ。

【(3)の考え方と解答】
2直線①，②が直交することと，①が定点A

$(-5,~0)$ を通り，②が定点B

$(5,~0)$ を通ることを考えると，2直線の交点Pは線分ABを直径とする円

$x^2+y^2=25$ 上を動くことが分かる。
　ここで，2直線①，②が表せない直線に着目しよう。直線①は

$y$ 軸と平行な直線と一致しないし，直線②は

$x$ 軸と平行な直線と一致しない。それに加えて，

$m$ の範囲が定められているため，2直線が動ける範囲はさらに制限される。
　

$m$ が

$-1\leqq m\leqq3$ の範囲を動くとき，直線①の傾き

$-m$ は

$-3\leqq-m\leqq1$ の範囲を動く。

$m=-1$ のとき，2直線①，②はそれぞれ

$\begin{align*} -x+y+5=0,~x+y+5=0 \end{align*}$

となり，その交点は

$(0,~-5)$ である。また，

$m=3$ のとき，2直線①，②はそれぞれ

$\begin{align*} 3x+y-15=0,~x-3y+5=0 \end{align*}$

となり，その交点は

$(4,~3)$ である。
　したがって，交点Pの軌跡は次の図のようになる。