【数学ⅡB】関数の極限値【神戸薬科大】

関数の極限値について説明します。

関数の極限値とは何かを知り，求め方を知りましょう。

大学入試では，関数の極限値に関する様々な問題が出題されます。

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1 関数の極限値とは
2 関数の極限値を求める問題【神戸薬科大】
3 関数の極限値に関する有名問題

関数の極限値とは

ヒロ

関数の極限値については，次の記事でも説明しているが，もう一度書いておく。

【数学ⅡB】極限値と微分係数【高知工科大・東洋大】

極限値と微分係数について説明します。「極限」という新しい考え方を理解することが大切です。公式を覚えるだけでも，ある程度，問題を解くことができます。しかし，数学IIIを受験で使う予定の人は公式を覚えるだけでは，いまいち理解できないことも出てき...

　関数 $f(x)$ において， $x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき， $f(x)$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近づく場合，この $\alpha$ を $f(x)$ の極限値といい，
$\begin{align*}\dlim{x\to a}f(x)=f(\alpha) \end{align*}$
と表す。
$\begin{align*} x\to a~のとき~~f(x)\to\alpha \end{align*}$
と表しても良い。

関数の極限値を求める問題【神戸薬科大】

2015年神戸薬科大次の極限値を求めると，

$\dlim{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x-2}=\myBox{ア}$ であり，

$\dlim{h\to0}\dfrac{(2x+h)^3-(2x)^3}{h}=\myBox{イ}$ である。

【アの解答と考え方】
　関数

$\dfrac{x^3-8}{x-2}$ の

$x$ を2に近づけていくと，分母と分子の両方が0に近づくことが分かる。つまり関数の値は

$\dfrac{0}{0}$ に近づくことが分かる。0と書いていても，実際には0ではなく，0に限りなく近い値であるから，

$\dfrac{0}{0}$ は「0に限りなく近い値を0に限りなく近い値で割った値」を表している。しかし，

$\dfrac{0}{0}$ がどんな値になるかは「そのときによる」としか言えないため「不定形」と呼ばれている。
　極限値を求める問題で不定形になっている場合は，不定形以外の形に式を変形する必要がある。これを「不定形を解消する」という。数学Ⅱの問題では，約分することで不定形を解消することができる。
　今回の問題では，不定形の原因となっている

$x-2$ で約分することを考える。実際，分子が

$x-2$ を因数にもっていることに気付くだろう。約分した後は不定形ではない形だから，極限値を求めることができる。

$\begin{align*} &\dlim{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x-2} \\[4pt] &=\dlim{x\to2}\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} \\[4pt] &=\dlim{x\to2}(x^2+2x+4) \\[4pt] &=4+4+4=12 \end{align*}$

【イの解答と考え方】

$h$ を0に近づけると，先ほどの問題と同様に，

$\dfrac{0}{0}$ の形になっているから，これも不定形である。したがって，

$h$ を約分によって消すことを考える。つまり分子が

$h$ を因数にもつのだろうと推測できる。この推測をもとに変形していく。

$\begin{align*} &\dlim{h\to0}\dfrac{(2x+h)^3-(2x)^3}{h} \\[4pt] &=\dlim{h\to0}\dfrac{\{(2x+h)-2x\}\{(2x+h)^2+2x(2x+h)+(2x)^2\}}{h} \\[4pt] &=\dlim{h\to0}\dfrac{h\{(2x+h)^2+2x(2x+h)+(2x)^2\}}{h} \\[4pt] &=\dlim{h\to0}\{(2x+h)^2+2x(2x+h)+(2x)^2\} \\[4pt] &=(2x)^2+(2x)^2+(2x)^2 \\[4pt] &=12x^2 \end{align*}$

ヒロ

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ の因数分解公式を用いて，分子を因数分解したが，展開して計算しても良い。好みの問題だろう。

関数の極限値に関する有名問題

問題次の極限値を

$a,~f(a),~f'(a)$ で表せ。
(1)

$\dlim{x\to a}\dfrac{xf(a)-af(x)}{x-a}$
(2)

$\dlim{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x^2-a^2}$

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

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【(1)の解答と考え方】
この問題では

$\dlim{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ を利用することを考えよう。
具体的には，分子の

$xf(a)-af(x)$ を

$f(x)-f(a)$ のカタマリを用いて表すことを考える。分子を変形すると次のようになる。

$\begin{align*} &xf(a)-af(x) \\[4pt] &=xf(a)-a(f(x)-f(a))-af(a) \\[4pt] &=f(a)(x-a)-a(f(x)-f(a)) \end{align*}$

したがって

$\begin{align*} &\dlim{x\to a}\dfrac{xf(a)-af(x)}{x-a} \\[4pt] &=\dlim{x\to a}\dfrac{f(a)(x-a)-a(f(x)-f(a))}{x-a} \\[4pt] &=\dlim{x\to a}\left(f(a)-a\Cdota\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right) \\[4pt] &=f(a)-af'(a) \end{align*}$

(2) $\dlim{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x^2-a^2}$

【(2)の解答と考え方】
(2)も(1)と同じように考えよう。

$\begin{align*} &\dlim{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x^2-a^2} \\[4pt] &=\dlim{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2(f(x)-f(a))-a^2f(a)}{x^2-a^2} \\[4pt] &=\dlim{x\to a}\dfrac{(x^2-a^2)f(a)-a^2(f(x)-f(a))}{x^2-a^2} \\[4pt] &=\dlim{x\to a}\left(f(a)-\dfrac{a^2}{x+a}\Cdota\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right) \\[4pt] &=f(a)-\dfrac{a^2}{2a}f'(a) \\[4pt] &=f(a)-\dfrac{1}{2}af'(a) \end{align*}$