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面倒な部分積分を「瞬間部分積分」で簡単に求めよう!

瞬間部分積分数学III

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瞬間部分積分を利用できる入試問題【2018年 明治大】

ヒロ
ヒロ

部分積分に関する入試問題で,答えだけを書けば良い場合には,瞬間部分積分はかなり有効だよ。

ヒロ
ヒロ

2018年の明治大の入試問題で練習しておこう。

2018年 明治大次の空欄に当てはまる0から9までの数字を入れよ。
\begin{align*}
\dint{-1}{2}\abs{(x^2-1)e^{-x}}\;dx=\dfrac{\myBox{ア}\,e-\myBox{イ}}{e^{\,\myBox{ウ}}}
\end{align*}

やってみます。

$(x^2-1)e^{-x}\geqq0$ とすると,
\begin{align*}
&x^2-1\geqq0 \\[4pt]&x\leqq-1,~1\leqq x
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
&\dint{-1}{2}\abs{(x^2-1)e^{-x}}\;dx \\[4pt]&=\dint{-1}{1}(1-x^2)e^{-x}\;dx+\dint{1}{2}(x^2-1)e^{-x}\;dx
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
&\dint{}{}\ (x^2-1)e^{-x}\;dx \\[4pt]&=-\{(x^2-1)+2x+2\}e^{-x}+C \\[4pt]&=-(x+1)^2e^{-x}+C
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
(与式)&=\tint{(x+1)^2e^{-x}}{-1}{1}+\tint{-(x+1)^2e^{-x}}{1}{2} \\[4pt]&=4e^{-1}-9e^{-2}+4e^{-1} \\[4pt]&=\dfrac{8e-9}{e^2}
\end{align*}
よって,$\myBox{ア}=8,~\myBox{イ}=9,~\myBox{ウ}=2$

簡単ですね!

部分積分と瞬間部分積分のまとめ

ヒロ
ヒロ

最初に説明したように,まずは通常通りに部分積分ができるようにしよう。その上で,限られた形に対しては「瞬間部分積分」と呼ばれる積分法を利用するようにしよう。

ヒロ
ヒロ

また,瞬間部分積分を使うなら,正しく使おう!

はい!わかりました。

ヒロ
ヒロ

瞬間部分積分の練習するときは,積分した後に毎回微分して確認すると良いよ。微分と積分の両方の練習になる!

ヒロ
ヒロ

瞬間部分積分が載っている参考書や問題集は少ないため,受験生が瞬間部分積分を目にする機会は少ないだろう。数学大学入試問題解答集私立大編(2019) [ 安田亨 ] の兵庫医科大学の解説に瞬間部分積分が使われている。

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