【数学ⅡB】恒等式に関する問題【東京薬科大・富山大・九州大】

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恒等式に関する入試問題2

2010年九州大0でない2つの整式 $f(x),~g(x)$ が以下の恒等式を満たすとする。

\begin{align*}
&f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7 \\[4pt]
&g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2
\end{align*}

以下の問いに答えよ。
(1) $f(x)$ の次数と $g(x)$ の次数はともに2以下であることを示せ。
(2) $f(x)$ と $g(x)$ を求めよ。

【(1)の考え方と解答】
2つの整式 $f(x),~g(x)$ の次数のどちらかが3以上だと矛盾が起こることを示そう。
$f(x),~g(x)$ の次数をそれぞれ $m,~n$（$m,~n$ は自然数）とし，

\begin{align*}
&f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7~\cdots\cdots① \\[4pt]
&g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2~\cdots\cdots②
\end{align*}

とする。①において，左辺の次数は $2m$ で，右辺の次数は $n+2$ であるから

\begin{align*}
&2m=n+2 \\[4pt]
&n=2m-2
\end{align*}

また，②の左辺の次数は $3n=6m-6$ であり，$x^4f(x)$ の次数は $m+4$, $-3x^2g(x)$ の次数は $n+2=2m$ であるから，右辺の次数は $m+4$ と $2m$ の小さくない方以下である。
$m\geqq3$ のとき

\begin{align*}
&(6m-6)-(m+4)=5m-10>0 \\[4pt]
&(6m-6)-2m=4m-6>0
\end{align*}

となり，両辺の次数が一致しないから $m\leqq2$ である。
このとき

\begin{align*}
n=2m-2\leqq2
\end{align*}

となるから，$f(x)$ の次数と $g(x)$ の次数はともに2以下である。

(2) $f(x)$ と $g(x)$ を求めよ。

【(2)の考え方と解答】
(1)の結果より

\begin{align*}
&f(x)=ax^2+bx+c \\[4pt]
&g(x)=px^2+qx+r
\end{align*}

と表せる。①より

\begin{align*}
&ax^4+bx^2+c=(x^2+2)(px^2+qx+r)+7 \\[4pt]
&(a-p)x^4-qx^3+(b-2p-r)x^2-2qx+(c-2r-7)=0
\end{align*}

これがすべての $x$ に対して成り立つから

\begin{align*}
&a-p=0~\cdots\cdots③ \\[4pt]
&q=0~\cdots\cdots④ \\[4pt]
&b-2p-r=0~\cdots\cdots⑤ \\[4pt]
&c-2r-7=0~\cdots\cdots⑥
\end{align*}

③より，$p=a$
⑤より，$r=-2a+b$
⑥より，$c=2r+7=-4a+2b+7$
よって，

\begin{align*}
&f(x)=ax^2+bx-4a+2b+7 \\[4pt]
&g(x)=ax^2-2a+b
\end{align*}

となる。これを②に代入して

\begin{align*}
&ax^6-2a+b=x^4(ax^2+bx-4a+2b+7)-3x^2(ax^2-2a+b)-6x^2-2 \\[4pt]
&bx^5+(-7a+2b+7)x^4+(6a-3b-6)x^2-b-2=0
\end{align*}

これがすべての $x$ に対して成り立つから

\begin{align*}
&b=0 \\[4pt]
&-7a+2b+7=0 \\[4pt]
&6a-3b-6=0 \\[4pt]
&-2a+b+2=0
\end{align*}

よって，$a=1,~b=0$
したがって，$f(x)=x^2+3,~g(x)=x^2-2$

多項式の次数で注意するべきこと

ヒロ

多項式の次数を安易に考えない方が良い。

【多項式の次数について】
　例えば「$f(x)$ と $g(x)$ の次数がともに2のとき，$2f(x)+3g(x)$ は何次式か？」と聞かれたとき，すぐに「2次式だ」と答えるのは良くない。2次式になることもあれば，1次式や定数になることもある。
　$f(x)=3x^2-6x+1$, $g(x)=-2x^2+x-3$ のとき

\begin{align*}
2f(x)+3g(x)&=2(3x^2-6x+1)+3(-2x^2+x-3) \\[4pt]
&=-9x-7
\end{align*}

この場合，$x^2$ の係数が消えて1次式になる。したがって，2つの多項式の次数がともに $n$ のとき，$af(x)+bg(x)$ の次数は $n$ 以下である。ただし，$a,~b$ は定数とする。