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必要十分条件と領域【立教大】
2020年 立教大$a$ を正の実数とし，$x,~y$ を実数とする。$x,~y$ に関する条件 $A,~B$ を次で定める。
1. 必要条件であるが，十分条件でない
2. 十分条件であるが，必要条件でない
3. 必要十分条件である
4. 必要条件でも十分条件でもない
\begin{align*}
&A:\abs{x}+\abs{y}\leqq a \\[4pt]
&B:\abs{x}\leqq1~~かつ~\abs{y}\leqq1
\end{align*}
$a=1$ のとき，$A$ は $B$ であるための $\myhako$。$a=2$ のとき，$A$ は $B$ であるための $\myhako$。このとき，以下の選択肢1～4の中から最も適切な番号を解答用紙の所定欄に記入せよ。&A:\abs{x}+\abs{y}\leqq a \\[4pt]
&B:\abs{x}\leqq1~~かつ~\abs{y}\leqq1
\end{align*}
1. 必要条件であるが，十分条件でない
2. 十分条件であるが，必要条件でない
3. 必要十分条件である
4. 必要条件でも十分条件でもない
【考え方と解答】
$a$ の値にかかわらず，$B$ が表す領域は変わらないから，$B$ が表す領域を図示することから始める。
$B:\abs{x}\leqq1$ かつ $\abs{y}\leqq1$ より，$B$ が表す領域は下図の斜線部分（境界を含む）である。
$a=1$ のときを調べる。$A:\abs{x}+\abs{y}\leqq1$ より，$A$ が表す領域は下図の斜線部分（境界を含む）となる。$B$ が表す領域と重ねて描いている。
$A$ が表す領域は $B$ が表す領域に含まれるから，$A$ ならば $B$ が成り立つ。したがって，$A$ は $B$ の十分条件である。よって，選択肢は「2」である。
次に $a=2$ のときを調べる。$A:\abs{x}+\abs{y}\leqq2$ より，$A$ が表す領域は下図の斜線部分（境界を含む）となる。
$A$ が表す領域は $B$ が表す領域を含むから，$B$ ならば $A$ が成り立つ。したがって，$A$ は $B$ の必要条件である。よって，選択肢は「1」である。
$a$ の値にかかわらず，$B$ が表す領域は変わらないから，$B$ が表す領域を図示することから始める。
$B:\abs{x}\leqq1$ かつ $\abs{y}\leqq1$ より，$B$ が表す領域は下図の斜線部分（境界を含む）である。
$a=1$ のときを調べる。$A:\abs{x}+\abs{y}\leqq1$ より，$A$ が表す領域は下図の斜線部分（境界を含む）となる。$B$ が表す領域と重ねて描いている。
$A$ が表す領域は $B$ が表す領域に含まれるから，$A$ ならば $B$ が成り立つ。したがって，$A$ は $B$ の十分条件である。よって，選択肢は「2」である。
次に $a=2$ のときを調べる。$A:\abs{x}+\abs{y}\leqq2$ より，$A$ が表す領域は下図の斜線部分（境界を含む）となる。
$A$ が表す領域は $B$ が表す領域を含むから，$B$ ならば $A$ が成り立つ。したがって，$A$ は $B$ の必要条件である。よって，選択肢は「1」である。