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【数学ⅡB】領域を利用した命題の証明【学習院大・立教大】

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領域と命題の証明数学IAIIB

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必要十分条件と領域【立教大】

2020年 立教大$a$ を正の実数とし,$x,~y$ を実数とする。$x,~y$ に関する条件 $A,~B$ を次で定める。
\begin{align*}
&A:\abs{x}+\abs{y}\leqq a \\[4pt]&B:\abs{x}\leqq1~~かつ~\abs{y}\leqq1
\end{align*}
$a=1$ のとき,$A$ は $B$ であるための $\myhako$。$a=2$ のとき,$A$ は $B$ であるための $\myhako$。このとき,以下の選択肢1~4の中から最も適切な番号を解答用紙の所定欄に記入せよ。
 1. 必要条件であるが,十分条件でない
 2. 十分条件であるが,必要条件でない
 3. 必要十分条件である
 4. 必要条件でも十分条件でもない
【考え方と解答】
$a$ の値にかかわらず,$B$ が表す領域は変わらないから,$B$ が表す領域を図示することから始める。
$B:\abs{x}\leqq1$ かつ $\abs{y}\leqq1$ より,$B$ が表す領域は下図の斜線部分(境界を含む)である。
2020年 立教大 領域B
$a=1$ のときを調べる。$A:\abs{x}+\abs{y}\leqq1$ より,$A$ が表す領域は下図の斜線部分(境界を含む)となる。$B$ が表す領域と重ねて描いている。
2020年 立教大 t=1のときの領域Aと領域B
 $A$ が表す領域は $B$ が表す領域に含まれるから,$A$ ならば $B$ が成り立つ。したがって,$A$ は $B$ の十分条件である。よって,選択肢は「2」である。
 次に $a=2$ のときを調べる。$A:\abs{x}+\abs{y}\leqq2$ より,$A$ が表す領域は下図の斜線部分(境界を含む)となる。
2020年 立教大 t=2のときの領域Aと領域B
 $A$ が表す領域は $B$ が表す領域を含むから,$B$ ならば $A$ が成り立つ。したがって,$A$ は $B$ の必要条件である。よって,選択肢は「1」である。

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