等比数列と対数に関する問題について解説します。
等比数列の一般項や和を表す式は，指数部分に文字を含みます。その文字の値や値の範囲を求める場合に，対数を利用することになります。
実際に出題された問題を通して，考え方や計算に慣れましょう。
2020年 共立女子大
2020年 共立女子大初項が3，公比が2の等比数列を $\{a_n\}$ とするとき，$10^4<a_n<10^6$ を満たす $n$ の値の範囲を求めよ。ただし，$\log_{10}2=0.3010,~\log_{10}3=0.4771$ とする。
【解答と考え方】
一般項は $a_n=3\Cdota2^{n-1}$ であるから，$10^4<a_n<10^6$ より
一般項は $a_n=3\Cdota2^{n-1}$ であるから，$10^4<a_n<10^6$ より
\begin{align*} &10^4<3\Cdota2^{n-1}<10^6 \end{align*}
辺々の常用対数をとると \begin{align*} &4<\log_{10}3+(n-1)\log_{10}2<6 \\[4pt] &\dfrac{4-\log_{10}3}{\log_{10}2}+1<n<\dfrac{6-\log_{10}3}{\log_{10}2}+1 \end{align*}
ここで \begin{align*} \dfrac{4-\log_{10}3}{\log_{10}2}+1&=\dfrac{4-0.4771}{0.3010}+1 \\[4pt] &=12.7\cdots \\[4pt] \dfrac{6-\log_{10}3}{\log_{10}2}+1&=\dfrac{6-0.4771}{0.3010}+1 \\[4pt] &=19.3\cdots \end{align*}
であるから，求める自然数 $n$ の値は \begin{align*} n=13,~14,~15,~16,~17,~18,~19 \end{align*}