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- ページ1
- 1 分数式の恒等式に関する問題
- ページ2
- 1 分数式の恒等式に関する問題2
分数式の恒等式に関する問題2
2020年 明治大等式
\begin{align*}
\dfrac{2x^2-x-3}{(x-1)^2(x-2)}=\dfrac{a}{(x-1)^2}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x-2}
\end{align*}
が $x$ についての恒等式となるように定数 $a,~b,~c$ を定めると，$a=\myBox{ア}$, $b=-\myBox{イ}$, $c=\myBox{ウ}$ となる。\dfrac{2x^2-x-3}{(x-1)^2(x-2)}=\dfrac{a}{(x-1)^2}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x-2}
\end{align*}
【考え方と解答】
与えられた等式の分母を払った等式
与えられた等式の分母を払った等式
\begin{align*}
2x^2-x-3=a(x-2)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)^2
\end{align*}
も $x$ についての恒等式である。右辺は2x^2-x-3=a(x-2)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)^2
\end{align*}
\begin{align*}
（右辺）=(b+c)x^2+(a-3b-2c)x+(-2a+2b+c)
\end{align*}
となるから，（右辺）=(b+c)x^2+(a-3b-2c)x+(-2a+2b+c)
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
b+c=2 \\[4pt]
a-3b-2c=-1 \\[4pt]
-2a+2b+c=-3
\end{cases}
\end{align*}
これを解いて，$a=2$, $b=-1$, $c=3$\begin{cases}
b+c=2 \\[4pt]
a-3b-2c=-1 \\[4pt]
-2a+2b+c=-3
\end{cases}
\end{align*}
ヒロ
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