指数の拡張
ヒロ
0や負の指数を定義したあとは，分数（有理数）の指数も考えたくなる。
【分数の指数】
例えば 5^{\frac{1}{2}} がどのような数か考えてみよう。分数の指数に対して，指数法則が成り立つとすると
例えば 5^{\frac{1}{2}} がどのような数か考えてみよう。分数の指数に対して，指数法則が成り立つとすると
\begin{align*} (5^{\frac{1}{2}})^2=5^{\frac{1}{2}\times2}=5 \end{align*}
となる。このことから，5^{\frac{1}{2}} は2乗すると5になる正の数であることが分かる。2乗すると5になる正の数は \sqrt{5} であるから\begin{align*} 5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5} \end{align*}
となる。同じように考えると 5^{\frac{1}{3}} は\begin{align*} (5^{\frac{1}{3}})^3=5^{\frac{1}{3}\times3}=5 \end{align*}
となるから，5^{\frac{1}{3}} は3乗すると5になる数である。よって\begin{align*} 5^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5} \end{align*}
となる。これを一般化すると\begin{align*} a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \end{align*}
となる。ヒロ
a を正の数，m,~n を正の整数，r を正の有理数とすると，次のように定義することができる。
指数の定義
- a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m
- a^{-r}=\dfrac{1}{a^r}
ヒロ
指数部分は有理数だけでなく，実数にも拡張することができる。
ヒロ
a>0,~b>0 とし，r,~s を実数とすると，指数の性質は次のようになる。
指数の性質
- a^ra^s=a^{r+s}
- (a^r)^s=a^{rs}
- (ab)^r=a^rb^r
- \dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}