指数の拡張
ヒロ
0や負の指数を定義したあとは，分数（有理数）の指数も考えたくなる。
【分数の指数】
例えば $5^{\frac{1}{2}}$ がどのような数か考えてみよう。分数の指数に対して，指数法則が成り立つとすると
例えば $5^{\frac{1}{2}}$ がどのような数か考えてみよう。分数の指数に対して，指数法則が成り立つとすると
\begin{align*}
(5^{\frac{1}{2}})^2=5^{\frac{1}{2}\times2}=5
\end{align*}
となる。このことから，$5^{\frac{1}{2}}$ は2乗すると5になる正の数であることが分かる。2乗すると5になる正の数は $\sqrt{5}$ であるから(5^{\frac{1}{2}})^2=5^{\frac{1}{2}\times2}=5
\end{align*}
\begin{align*}
5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}
\end{align*}
となる。同じように考えると $5^{\frac{1}{3}}$ は5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}
\end{align*}
\begin{align*}
(5^{\frac{1}{3}})^3=5^{\frac{1}{3}\times3}=5
\end{align*}
となるから，$5^{\frac{1}{3}}$ は3乗すると5になる数である。よって(5^{\frac{1}{3}})^3=5^{\frac{1}{3}\times3}=5
\end{align*}
\begin{align*}
5^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5}
\end{align*}
となる。これを一般化すると5^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5}
\end{align*}
\begin{align*}
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
\end{align*}
となる。a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
\end{align*}
ヒロ
$a$ を正の数，$m,~n$ を正の整数，$r$ を正の有理数とすると，次のように定義することができる。
指数の定義
- $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$
- $a^{-r}=\dfrac{1}{a^r}$
ヒロ
指数部分は有理数だけでなく，実数にも拡張することができる。
ヒロ
$a>0,~b>0$ とし，$r,~s$ を実数とすると，指数の性質は次のようになる。
指数の性質
- $a^ra^s=a^{r+s}$
- $(a^r)^s=a^{rs}$
- $(ab)^r=a^rb^r$
- $\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$