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【数学ⅡB】2直線の交点を通る直線の方程式【北里大・広島工業大】

2直線の交点を通る直線数学IAIIB

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2直線の交点を通る直線の求め方

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それでは具体例を用いて,2直線の交点を通る直線の求め方について説明する。

例題2直線 $x+2y-5=0~\cdots\cdots①$,$2x-y-4=0~\cdots\cdots②$ の交点Aと点P$(4,~2)$ を通る直線の方程式を求めよ。
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この問題を解く方法として,2直線の交点Aの座標を求める場合と求めない場合の2種類が考えられる。

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順に説明していく。

交点の座標を利用する方法

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交点Aの座標を求めてから直線の方程式を求める方法を説明する。

【考え方と解答】
 2直線①,②の交点Aの座標を求める。$①+②\times2$ より
\begin{align*}
&5x-13=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{13}{5}
\end{align*}
①より,$y=\dfrac{6}{5}$
よって,A$\left(\dfrac{13}{5},~\dfrac{6}{5}\right)$ となる。APの傾きは
\begin{align*}
\dfrac{2-\dfrac{6}{5}}{4-\dfrac{13}{5}}=\dfrac{10-6}{20-13}=\dfrac{4}{7}
\end{align*}
であるから,求める直線の方程式は
\begin{align*}
&y=\dfrac{4}{7}(x-4)+2 \\[4pt]
&y=\dfrac{4}{7}x-\dfrac{2}{7}
\end{align*}

交点の座標を利用しない方法

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次に,交点Aの座標を求めずに,直線の方程式を求める方法を説明する。

2直線 $x+2y-5=0~\cdots\cdots①$,$2x-y-4=0~\cdots\cdots②$ の交点Aと点P$(4,~2)$ を通る直線の方程式を求めよ。

【考え方と解答】
 ①と②の左辺を用いて表される次の直線③を考える。
\begin{align*}
p(x+2y-5)+q(2x-y-4)=0~\cdots\cdots③
\end{align*}
ここで $p,~q$ は定数とする。また,$p,~q$ の値にかかわらず,直線③は2直線①と②の交点Aを通っている。その理由を説明しておこう。
【直線③が点Aを通る理由】
 Aの座標を $(X,~Y)$ とすると,点Aは①上にも②上にもあるから
\begin{align*}
X+2Y-5=0,~2X-Y-4=0
\end{align*}
が成り立つ。このとき
\begin{align*}
p(X+2Y-5)+q(2X-Y-4)=0
\end{align*}
が成り立つ。よって,直線③は点A$(X,~Y)$ を通る。
 具体的な $X,~Y$ の値は上で計算したように,$X=\dfrac{13}{5}$,$Y=\dfrac{6}{5}$ であるが,この値を求めなくても直線③が点Aを通ることが確定している。つまり,あとは直線③が点P$(4,~2)$ を通るような $p,~q$ を求めれば良いということである。
 ここで,通る点として指定されている点Pは2直線①上にも②上にもないことに注意しよう。確認の計算としては,Pの座標を①や②に代入して成り立つか成り立たないかを調べれば良い。例えば①と②の左辺に $x=4,~y=2$ を代入すると
\begin{align*}
&(①の左辺)=4+2\Cdota2-5=3\neq0 \\[4pt]&(②の左辺)=2\Cdota4-2-4=2\neq0
\end{align*}
となるから点Pは①上にも②上にもない。直線③が直線①を表さなくても良いから,$q\neq0$ である。③の両辺を $q$ で割ると
\begin{align*}
\dfrac{p}{q}(x+2y-5)+(2x-y-4)=0
\end{align*}
となる。$\dfrac{p}{q}$ を $k$ に置き換えると
\begin{align*}
k(x+2y-5)+(2x-y-4)=0~\cdots\cdots④
\end{align*}
となる。どちらか片方の直線を表せなくなっても構わない場合は,未知数が少なくなるこの置き方の方が良いだろう。④が点P$(4,~2)$ を通るときを考えて
\begin{align*}
&k(4+4-5)+(8-2-4)=0 \\[4pt]&3k+2=0 \\[4pt]&k=-\dfrac{2}{3}
\end{align*}
④に代入して
\begin{align*}
&-\dfrac{2}{3}(x+2y-5)+(2x-y-4)=0 \\[4pt]&-2x-4y+10+6x-3y-12=0 \\[4pt]&4x-7y-2=0
\end{align*}
答えとして書く直線の方程式の形(基本形・一般形)が定められていない場合は,このまま一般形で答えとすれば良い。空欄を埋めるような問題で,それが基本形になっていれば,直線の方程式を基本形に変形しなければならない。
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交点を求める方法と求めない方法では,求めない方法の方が計算が面倒になることもある。

ヒロ
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状況に応じて,どちらの考え方にも対応できるようにしておこう。

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