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【数学ⅡB】2直線の交点を通る直線の方程式【北里大・広島工業大】

2直線の交点を通る直線数学IAIIB

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2直線の交点を通る直線に関する問題【北里大】

2015年 北里大直線 $4x-3y=0$ と直線 $x+2y-11=0$ の交点Pの座標は $\myhako$ である。また,Pを通り,直線 $2x+5y-11=0$ に垂直な直線の方程式は $y=\myhako$ である。
【考え方と解答】
この問題では交点Pの座標を求めないといけないので,連立方程式を解こう。
$4x-3y=0~\cdots\cdots①$,$x+2y-11=0~\cdots\cdots②$ とする。$①\times2+②\times3$ より
\begin{align*}
&11x-33=0 \\[4pt]
&x=3
\end{align*}
①より,$y=4$
よって,交点Pの座標は $(3,~4)$
点P$(3,~4)$ を通り,直線 $2x+5y-11=0$ に垂直な直線の方程式は
\begin{align*}
&5(x-3)-2(y-4)=0 \\[4pt]
&5x-2y-7=0 \\[4pt]
&y=\dfrac{5}{2}x-\dfrac{7}{2}
\end{align*}
今回の場合は,一般形で求めても,基本形で答えることを要求されているため,一般形で求めることにそれほど意味はないだろう。ただ,直線の方程式が一般形で書かれていても,垂直な直線の方程式を求められるようにしておくことは重要である。どうするか忘れた人は「直線の平行条件と垂直条件」を読んで復習しよう。

2直線の交点を通る直線に関する問題【広島工業大】

2011年 広島工業大2直線 $2x+3y=1$,$3x+y=5$ の交点を通り,直線 $3x+2y=6$ に平行な直線の方程式は $y=\myhako$ で,垂直な直線の方程式は $y=\myhako$ である。
【考え方と解答】
連立方程式を解いて交点の座標を求めよう。$2x+3y=1~\cdots\cdots①$,$3x+y=5~\cdots\cdots②$ とする。
$②\times3-①$ より
\begin{align*}
&7x=14 \\[4pt]&x=2
\end{align*}
②の $y$ の係数が1だから②に代入して $y$ を求めることにする。②より,$y=-1$
よって,交点の座標は $(2,~1)$ である。
この交点を通り,直線 $3x+2y=6$ に平行な直線の方程式は
\begin{align*}
&3(x-2)+2(y-1)=0 \\[4pt]&3x+2y-8=0 \\[4pt]&y=-\dfrac{3}{2}x+2
\end{align*}
交点 $(2,~1)$ を通り,直線 $3x+2y=6$ に垂直な直線の方程式は
\begin{align*}
&2(x-2)-3(y-1)=0 \\[4pt]&2x-3y-1=0 \\[4pt]&y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{7}{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

この問題では交点の座標を求める必要はないため,連立方程式を解く必要はない。

ヒロ
ヒロ

交点の座標を求めずに直線の方程式を求めた場合は,次のような解答になる。

【別の考え方と解答】
 2直線 $2x+3y=1$,$3x+y=5$ の交点を通る直線の方程式は
\begin{align*}
&k(2x+3y-1)+3x+y-5=0 \\[4pt]&(2k+3)x+(3k+1)y-k-5=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
と表せる。この直線①と直線 $3x+2y-6=0~\cdots\cdots②$ が平行になるときを考えて
\begin{align*}
&3(3k+1)-2(2k+3)=0 \\[4pt]&5k-3=0 \\[4pt]&k=\dfrac{3}{5}
\end{align*}
この解法はここからの計算が面倒に感じる。①に代入して
\begin{align*}
&\left(\dfrac{6}{5}+3\right)x+\left(\dfrac{9}{5}+1\right)y-\dfrac{3}{5}-5=0 \\[4pt]&21x+14y-28=0 \\[4pt]&3x+2y-4=0 \\[4pt]&y=-\dfrac{3}{2}x+2
\end{align*}
2直線①と②が垂直のときを考えて
\begin{align*}
&3(2k+3)+2(3k+1)=0 \\[4pt]&12k+11=0 \\[4pt]&k=-\dfrac{11}{12}
\end{align*}
①に代入して
\begin{align*}
&\left(-\dfrac{11}{6}+3\right)x+\left(-\dfrac{11}{4}+1\right)y+\dfrac{11}{12}-5=0 \\[4pt]&14x-21y-49=0 \\[4pt]&2x-3y-7=0 \\[4pt]&y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{7}{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

実際には,どちらの解法で解くか悩むかもしれないが,試験会場では「悩む時間」を出来る限り少なくして,さっさと計算するようにしよう。

ヒロ
ヒロ

また,途中で面倒になっても解法を変えない方が良い。

ヒロ
ヒロ

時間が余るようなら別の解法でも解いて,求めた答えが一致することを確認すると良い。

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