3点を通る円の方程式の求め方
ヒロ
3点を通る円の方程式を求める方法としては，主に3つの方法がある。
3点を通る円の方程式の求め方
- 円の中心と半径を求める。
- 円の方程式を一般形でおいて，係数を求める。
- 2点を通る円の方程式を利用する。
ヒロ
順番に説明するが，3番目の方法については，次の記事で扱っている。
円の中心と半径を求める
ヒロ
次の問題を用いて説明する。
2018年 東北学院大平面上の3点O$(0,~0)$，A$(2,~3)$，B$(-3,~3)$ について，次の問いに答えよ。
(1) 線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ。
(2) 3点O，A，Bを通る円の方程式を求めよ。
(1) 線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ。
(2) 3点O，A，Bを通る円の方程式を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
OAの傾きは $\dfrac{3}{2}$ であり，中点をMとするとM$\left(1,~\dfrac{3}{2}\right)$ であるから，線分OAの垂直二等分線の方程式は
OAの傾きは $\dfrac{3}{2}$ であり，中点をMとするとM$\left(1,~\dfrac{3}{2}\right)$ であるから，線分OAの垂直二等分線の方程式は
\begin{align*}
&y=-\dfrac{2}{3}(x-1)+\dfrac{3}{2} \\[4pt]
&y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{13}{6}~\cdots\cdots①
\end{align*}
&y=-\dfrac{2}{3}(x-1)+\dfrac{3}{2} \\[4pt]
&y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{13}{6}~\cdots\cdots①
\end{align*}
(2) 3点O，A，Bを通る円の方程式を求めよ。
【(2)の考え方と解答】
弦の垂直二等分線が円の中心を通ることから，(1)がその誘導になっていることに気付けるようにしよう。垂直二等分線をもう1本求めれば，連立方程式を解くことでその交点，すなわち円の中心を求めることができる。線分OBの垂直二等分線と線分ABの垂直二等分線でどちらがより簡単に求められるかを考えよう。OBの垂直二等分線なら，(1)と同様に求めることができるはず。ABの垂直二等分線を求めようとすると，2点A，Bの座標に着目することになり，$y$ 座標が等しいことに気付く。つまり，線分ABの垂直二等分線は $x$ 軸に垂直な直線となるため，こちらの方が簡単に求めることができる。
ABの中点は $\left(-\dfrac{1}{2},~3\right)$ であるから，ABの垂直二等分線の方程式は $x=-\dfrac{1}{2}~\cdots\cdots②$ である。②を①に代入すると
弦の垂直二等分線が円の中心を通ることから，(1)がその誘導になっていることに気付けるようにしよう。垂直二等分線をもう1本求めれば，連立方程式を解くことでその交点，すなわち円の中心を求めることができる。線分OBの垂直二等分線と線分ABの垂直二等分線でどちらがより簡単に求められるかを考えよう。OBの垂直二等分線なら，(1)と同様に求めることができるはず。ABの垂直二等分線を求めようとすると，2点A，Bの座標に着目することになり，$y$ 座標が等しいことに気付く。つまり，線分ABの垂直二等分線は $x$ 軸に垂直な直線となるため，こちらの方が簡単に求めることができる。
ABの中点は $\left(-\dfrac{1}{2},~3\right)$ であるから，ABの垂直二等分線の方程式は $x=-\dfrac{1}{2}~\cdots\cdots②$ である。②を①に代入すると
\begin{align*}
y&=-\dfrac{2}{3}\Cdota\left(-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{13}{6} \\[4pt]
&=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}
\end{align*}
よって，①と②の交点，すなわち求める円の中心Cの座標は $\left(-\dfrac{1}{2},~\dfrac{5}{2}\right)$ である。求める円の半径を $r$ とすると，y&=-\dfrac{2}{3}\Cdota\left(-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{13}{6} \\[4pt]
&=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
r^2&=\text{OC}^2 \\[4pt]
&=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{26}{4}=\dfrac{13}{2}
\end{align*}
したがって，求める円の方程式はr^2&=\text{OC}^2 \\[4pt]
&=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{26}{4}=\dfrac{13}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{13}{2}
\end{align*}
\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{13}{2}
\end{align*}
円の方程式を一般形でおいて，係数を求める。
2020年 愛知医科大3点A$(2,~-1)$，B$(2\sqrt{6}-1,~2)$，C$(-4,~7)$ を通る円の方程式を求めよ。
ヒロ
この問題を見て，点Bの座標だけが面倒な設定だなと思うだろう。
ヒロ
このことを深読みすると，あることを想定するが，これについては後で説明する。
ヒロ
とりあえず一般形でおいて円の方程式を求めよう。
【考え方と解答】
求める円の方程式は
$①-②$ より
求める円の方程式は
\begin{align*}
C:x^2+y^2+lx+my+n=0
\end{align*}
と表せる。点Aがこの円周上にあるときを考えてC:x^2+y^2+lx+my+n=0
\end{align*}
\begin{align*}
&4+1+2l-m+n=0 \\[4pt]
&2l-m+n=-5~\cdots\cdots①
\end{align*}
同様に，点Bが円 $C$ 上にあるときを考えて&4+1+2l-m+n=0 \\[4pt]
&2l-m+n=-5~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
&(2\sqrt{6}-1)^2+4+(2\sqrt{6}-1)l+2m+n=0 \\[4pt]
&(2\sqrt{6}-1)l+2m+n=-29+4\sqrt{6}~\cdots\cdots②
\end{align*}
点Cが円 $C$ 上にあるときを考えて&(2\sqrt{6}-1)^2+4+(2\sqrt{6}-1)l+2m+n=0 \\[4pt]
&(2\sqrt{6}-1)l+2m+n=-29+4\sqrt{6}~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
&16+49-4l+7m+n=0 \\[4pt]
&-4l+7m+n=-65~\cdots\cdots③
\end{align*}
①～③の連立方程式を解こう。どの方程式も $n$ の係数は1であるから，差をとることで $n$ を消去できる。&16+49-4l+7m+n=0 \\[4pt]
&-4l+7m+n=-65~\cdots\cdots③
\end{align*}
$①-②$ より
\begin{align*}
&(3-2\sqrt{6})l-3m=24-4\sqrt{6}~\cdots\cdots④
\end{align*}
$①-③$ より&(3-2\sqrt{6})l-3m=24-4\sqrt{6}~\cdots\cdots④
\end{align*}
\begin{align*}
&6l-8m=60 \\[4pt]
&3l-4m=30~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
$④\times4-⑤\times3$ より&6l-8m=60 \\[4pt]
&3l-4m=30~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
\begin{align*}
&(3-8\sqrt{6})l=6-16\sqrt{6} \\[4pt]
&l=2
\end{align*}
⑤に代入すると&(3-8\sqrt{6})l=6-16\sqrt{6} \\[4pt]
&l=2
\end{align*}
\begin{align*}
&6-4m=30 \\[4pt]
&m=-6
\end{align*}
①より&6-4m=30 \\[4pt]
&m=-6
\end{align*}
\begin{align*}
&4+6+n=5 \\[4pt]
&n=-5
\end{align*}
よって，求める円の方程式は&4+6+n=5 \\[4pt]
&n=-5
\end{align*}
\begin{align*}
x^2+y^2+2x-6y-5=0
\end{align*}
x^2+y^2+2x-6y-5=0
\end{align*}
ヒロ
この問題では，点Bの座標だけに無理数があり，それが原因で面倒な計算になる。
ヒロ
受験生を苦しめるためだけに，このような面倒な設定がされているのだろうか？という疑問を持つ人もいるだろう。
ヒロ
そのような疑問をもった場合は「もしかすると，簡単になるように点Bを定めてくれているのではないか？」と思うだろう。
ヒロ
つまり「2点A，Cを直径の両端として決めた後，その円周上の点としてBをとったのではないか？点Bの $y$ 座標を2という整数に決めたが，結果として $x$ 座標だけが無理数になってしまった。」と考えてしまう。
ヒロ
この座標の設定の不自然さから，次のような確認をした。
3点A$(2,~-1)$，B$(2\sqrt{6}-1,~2)$，C$(-4,~7)$ を通る円の方程式を求めよ。
【点Bの座標が不自然な理由】
ABの傾き $m$ を計算すると，$\dfrac{3}{2\sqrt{6}-3}$ であり，BCの傾き $n$ を計算すると，$\dfrac{-5}{2\sqrt{6}+3}$ である。ABとBCの傾きの積を計算すると
これより，3点A，B，Cを通る円は線分ACを直径とする円となる。ACの中点をMとすると，M$(-1,~3)$ となる。
また，ACの長さの半分が半径 $r$ であるから
ABの傾き $m$ を計算すると，$\dfrac{3}{2\sqrt{6}-3}$ であり，BCの傾き $n$ を計算すると，$\dfrac{-5}{2\sqrt{6}+3}$ である。ABとBCの傾きの積を計算すると
\begin{align*}
mn&=\dfrac{3}{2\sqrt{6}-3}\Cdota\dfrac{-5}{2\sqrt{6}+3} \\[4pt]
&=\dfrac{-15}{24-9}=-1
\end{align*}
「やはりそうだったか」という感想だった。予想通り「ABとBCが垂直である」という結果となった。mn&=\dfrac{3}{2\sqrt{6}-3}\Cdota\dfrac{-5}{2\sqrt{6}+3} \\[4pt]
&=\dfrac{-15}{24-9}=-1
\end{align*}
これより，3点A，B，Cを通る円は線分ACを直径とする円となる。ACの中点をMとすると，M$(-1,~3)$ となる。
また，ACの長さの半分が半径 $r$ であるから
\begin{align*}
r^2&=\dfrac{\text{AC}^2}{4} \\[4pt]
&=\dfrac{6^2+(-8)^2}{4} \\[4pt]
&=\dfrac{36+64}{4}=25
\end{align*}
よって，求める円の方程式はr^2&=\dfrac{\text{AC}^2}{4} \\[4pt]
&=\dfrac{6^2+(-8)^2}{4} \\[4pt]
&=\dfrac{36+64}{4}=25
\end{align*}
\begin{align*}
(x+1)^2+(y-3)^2=25
\end{align*}
(x+1)^2+(y-3)^2=25
\end{align*}
ヒロ
上のように傾きの積でなく，三平方の定理が成り立つかどうかを確認する人もいるだろう。
ヒロ
その場合は次のようになる。
【点Bの不自然さから直角三角形を疑う】
A$(2,~-1)$，B$(2\sqrt{6}-1,~2)$，C$(-4,~7)$ より
A$(2,~-1)$，B$(2\sqrt{6}-1,~2)$，C$(-4,~7)$ より
\begin{align*}
&\text{AB}^2=(2\sqrt{6}-3)^2+3^2=42-12\sqrt{6} \\[4pt]
&\text{BC}^2=(2\sqrt{6}+3)^2+(-5)^2=58+12\sqrt{6} \\[4pt]
&\text{CA}^2=6^2+(-8)^2=100
\end{align*}
となるから&\text{AB}^2=(2\sqrt{6}-3)^2+3^2=42-12\sqrt{6} \\[4pt]
&\text{BC}^2=(2\sqrt{6}+3)^2+(-5)^2=58+12\sqrt{6} \\[4pt]
&\text{CA}^2=6^2+(-8)^2=100
\end{align*}
\begin{align*}
\text{AB}^2+\text{BC}^2=\text{CA}^2
\end{align*}
が成り立つ。よって，$\sankaku{ABC}$ は $\kaku{B}=90\Deg$ の直角三角形である。\text{AB}^2+\text{BC}^2=\text{CA}^2
\end{align*}
ヒロ
好みの問題であるとは思うが，個人的には，傾きの積が $-1$ になることを確認する方が楽な気がする。
ヒロ
今回は与えられている座標の不自然さから，傾きの積を確認して，結果として上手くいった。
ヒロ
しかし，問題によっては，座標設定が面倒になっているだけのものもあるので，いつもこのように上手くいくとは限らない。