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点と直線の距離を求める
ヒロ
平面上の点と直線の距離を求めよう。
【点と直線の距離】
点P$(p,~q)$ と直線 $ax+by+c=0~\cdots\cdots①$ の距離を $d$ とする。
点Hの座標を求めれば，2点P，Hの座標からPHの長さを求めることができる。ここで，点Pを通り $l$ に垂直な直線を $m$ とすると，2直線 $l,~m$ の交点が点Hである。直線 $m$ の方程式は
\begin{align*}
&b(x-p)-a(y-q)=0 \\[4pt]
&bx-ay-bp+aq=0~\cdots\cdots②
\end{align*}
$①\times a+②\times b$ より&b(x-p)-a(y-q)=0 \\[4pt]
&bx-ay-bp+aq=0~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
(a^2+b^2)x+ca-b^2p+abq=0
\end{align*}
$a$ と $b$ が同時に0になることはないから，$a^2+b^2\neq0$(a^2+b^2)x+ca-b^2p+abq=0
\end{align*}
よって，$x=\dfrac{b^2p-abq-ca}{a^2+b^2}$
$①\times b-②\times a$ より
\begin{align*}
&(b^2+a^2)y+bc+abp-a^2q=0 \\[4pt]
&y=\dfrac{-abp+a^2q-bc}{a^2+b^2}
\end{align*}
したがって，H$\left(\dfrac{b^2p-abq-ca}{a^2+b^2},~\dfrac{-abp+a^2q-bc}{a^2+b^2}\right)$&(b^2+a^2)y+bc+abp-a^2q=0 \\[4pt]
&y=\dfrac{-abp+a^2q-bc}{a^2+b^2}
\end{align*}
このとき，PHの長さの2乗は
\begin{align*}
\text{PH}^2&=\left(p-\dfrac{b^2p-abq-ca}{a^2+b^2}\right)^2+\left(q-\dfrac{-abp+a^2q-bc}{a^2+b^2}\right)^2 \\[4pt]
&=\left(\dfrac{a^2p+abq+ca}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\dfrac{abp+b^2q+bc}{a^2+b^2}\right)^2 \\[4pt]
&=(ap+bq+c)^2\left(\dfrac{a^2}{(a^2+b^2)^2}+\dfrac{b^2}{(a^2+b^2)^2}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{(ap+bq+c)^2}{a^2+b^2}
\end{align*}
$\text{PH}\geqq0$ であるから\text{PH}^2&=\left(p-\dfrac{b^2p-abq-ca}{a^2+b^2}\right)^2+\left(q-\dfrac{-abp+a^2q-bc}{a^2+b^2}\right)^2 \\[4pt]
&=\left(\dfrac{a^2p+abq+ca}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\dfrac{abp+b^2q+bc}{a^2+b^2}\right)^2 \\[4pt]
&=(ap+bq+c)^2\left(\dfrac{a^2}{(a^2+b^2)^2}+\dfrac{b^2}{(a^2+b^2)^2}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{(ap+bq+c)^2}{a^2+b^2}
\end{align*}
\begin{align*}
\text{PH}=\dfrac{\abs{ap+bq+c}}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
\text{PH}=\dfrac{\abs{ap+bq+c}}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
ヒロ
上では点Hの座標を求めてからPHの長さを求めたが，点Hの座標を求めずにPHの長さを求めることもできる。
【うまく計算する】
$l$ の方程式 $ax+by+c=0$ より
\begin{align*}
a(x-p)+b(y-q)=-ap-bq-c~\cdots\cdots①
\end{align*}
点P$(p,~q)$ を通り，$l$ に垂直な直線 $m$ の方程式はa(x-p)+b(y-q)=-ap-bq-c~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
b(x-p)-a(y-q)=0~\cdots\cdots②
\end{align*}
$①^2+②^2$ よりb(x-p)-a(y-q)=0~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
&(a^2+b^2)\{(x-p)^2+(y-q)^2\}=(-ap-bq-c)^2 \\[4pt]
&(x-p)^2+(y-q)^2=\dfrac{(ap+bq+c)^2}{a^2+b^2}
\end{align*}
よって&(a^2+b^2)\{(x-p)^2+(y-q)^2\}=(-ap-bq-c)^2 \\[4pt]
&(x-p)^2+(y-q)^2=\dfrac{(ap+bq+c)^2}{a^2+b^2}
\end{align*}
\begin{align*}
\text{PH}&=\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{\abs{ap+bq+c}}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
\text{PH}&=\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{\abs{ap+bq+c}}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
ヒロ
次の記事で説明しているように，ベクトルの内積の図形的意味を利用すると，比較的楽に点と直線の距離の公式を導出することができる。
点と直線の距離の公式
ヒロ
点と直線の距離の公式は次のようになっている。
点と直線の距離の公式点P$(p,~q)$ と直線 $ax+by+c=0$ との距離を $d$ とすると
\begin{align*}
d=\dfrac{\abs{ap+bq+c}}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
d=\dfrac{\abs{ap+bq+c}}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
ヒロ
公式を間違える人のほとんどが，分母を $\sqrt{p^2+q^2}$ としてしまうので注意しよう。
ヒロ
公式を導出する際の計算を思い出すと，分母を間違えることがなくなると思う。
点と直線の距離に関する問題【福岡大】
2012年 福岡大曲線 $y=x^2-1$ 上を動く点Pと，直線 $y=x-3$ 上を動く点Qとの距離が最小となるときの点Qの座標は $\myhako$ であり，このときの距離は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
2点間の距離を考えるとき，その2つの点が両方とも動く場合は，まず片方の点を固定して考えるようにしよう。片方の点を固定したときにもう1つの点がどのような位置にあるかを考える。次に，固定していた点を動かしていくのがセオリーである。
この問題では2点P，Qのうち，どちらを固定して考えるかがポイントとなる。点Qを固定すると，直線上のある点Qから放物線 $y=x^2-1$ 上の点までの距離が最小となる点を考えることになる。点Pを固定すると，点Pと直線 $y=x-3$ との距離を考えることになる。
点と直線の距離の公式を知ったばかりであれば，点Pを固定して考えた方が，考えやすいかもしれないので，今回はこちらで考えることにする。
点Pを固定したとき，PQの長さが最小になる点Qは，点Pから直線 $y-x-3$ に下ろした垂線の足Hと一致する。
次に点Pを動かすと，直線 $y=x-3$ に垂直な線分PHが動く。その中でPHの長さが最小になるような点Pを探そう。
点Pは放物線 $y=x^2-1$ 上の点であるから，実数 $t$ を用いてP$(t,~t^2-1)$ と表せる。点Pと直線 $x-y-3=0$ との距離を $d$ とすると
①，②より $y$ を消去すると
よって，点Qの座標はQ$\left(\dfrac{11}{8},~-\dfrac{13}{8}\right)$ であり，PQの距離は $\dfrac{7\sqrt{2}}{8}$ である。
2点間の距離を考えるとき，その2つの点が両方とも動く場合は，まず片方の点を固定して考えるようにしよう。片方の点を固定したときにもう1つの点がどのような位置にあるかを考える。次に，固定していた点を動かしていくのがセオリーである。
この問題では2点P，Qのうち，どちらを固定して考えるかがポイントとなる。点Qを固定すると，直線上のある点Qから放物線 $y=x^2-1$ 上の点までの距離が最小となる点を考えることになる。点Pを固定すると，点Pと直線 $y=x-3$ との距離を考えることになる。
点と直線の距離の公式を知ったばかりであれば，点Pを固定して考えた方が，考えやすいかもしれないので，今回はこちらで考えることにする。
点Pを固定したとき，PQの長さが最小になる点Qは，点Pから直線 $y-x-3$ に下ろした垂線の足Hと一致する。
次に点Pを動かすと，直線 $y=x-3$ に垂直な線分PHが動く。その中でPHの長さが最小になるような点Pを探そう。
点Pは放物線 $y=x^2-1$ 上の点であるから，実数 $t$ を用いてP$(t,~t^2-1)$ と表せる。点Pと直線 $x-y-3=0$ との距離を $d$ とすると
\begin{align*}
d&=\dfrac{\abs{t-(t^2-1)-3}}{\sqrt{1^2+1^2}} \\[4pt]
&=\dfrac{\abs{t^2-t+2}}{\sqrt{2}}
\end{align*}
ここでd&=\dfrac{\abs{t-(t^2-1)-3}}{\sqrt{1^2+1^2}} \\[4pt]
&=\dfrac{\abs{t^2-t+2}}{\sqrt{2}}
\end{align*}
\begin{align*}
t^2-t+2=\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0
\end{align*}
であるからt^2-t+2=\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0
\end{align*}
\begin{align*}
d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4\sqrt{2}}
\end{align*}
$t$ はすべての実数をとり得るから，$t=\dfrac{1}{2}$ のとき，$d$ は最小となり，最小値はd=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4\sqrt{2}}
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{7}{4\sqrt{2}}=\dfrac{7\sqrt{2}}{8}
\end{align*}
このとき，P$\left(\dfrac{1}{2},~-\dfrac{3}{4}\right)$ であるから，点Pを通り，直線 $x-y-3=0$ に垂直な直線の方程式は\dfrac{7}{4\sqrt{2}}=\dfrac{7\sqrt{2}}{8}
\end{align*}
\begin{align*}
&\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\left(y+\dfrac{3}{4}\right)=0 \\[4pt]
&y=-x-\dfrac{1}{4}
\end{align*}
点Qは2直線 $y=x-3~\cdots\cdots①$，$y=-x-\dfrac{1}{4}~\cdots\cdots②$ の交点である。&\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\left(y+\dfrac{3}{4}\right)=0 \\[4pt]
&y=-x-\dfrac{1}{4}
\end{align*}
①，②より $y$ を消去すると
\begin{align*}
&x-3=-x-\dfrac{1}{4} \\[4pt]
&x=\dfrac{11}{8}
\end{align*}
①より，$y=-\dfrac{13}{8}$&x-3=-x-\dfrac{1}{4} \\[4pt]
&x=\dfrac{11}{8}
\end{align*}
よって，点Qの座標はQ$\left(\dfrac{11}{8},~-\dfrac{13}{8}\right)$ であり，PQの距離は $\dfrac{7\sqrt{2}}{8}$ である。
ヒロ
詳しく説明することはしないが，点Pの位置について軽く触れておく。
【直線を平行移動して接する点を探せ】
放物線上の点Pと直線上の点Qに対して，PQの長さが最小になるような点Pは，直線 $y=x-3$ を平行移動して放物線 $y=x^2-1$ と接するときの接点になっている。
ヒロ
今回のように空欄を埋めるだけの問題であれば，このことを利用すれば，もう少し楽に点Pの座標を求めることができる。
ヒロ
ここではその解答を書かないが，微分の記事で同じ問題を扱うのも良いかもしれない。