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3次関数の最大値と最小値の差
2020年 藤田医科大関数 $f(x)=4x^3-30x^2+48x-13$ の $0\leqq x\leqq5$ における最大値と最小値の差は $\myhako$ である。
【解答と考え方】
$f(x)=4x^3-30x^2+48x-13$ のとき
よって，$0\leqq x\leqq5$ における $f(x)$ の増減は次のようになる。
$f(x)=4x^3-30x^2+48x-13$ のとき
\begin{align*}
f'(x)&=12x^2-60x+48 \\[4pt]
&=12(x^2-5x+4) \\[4pt]
&=12(x-1)(x-4)
\end{align*}
$f'(x)=0$ を解くと，$x=1,~4$f'(x)&=12x^2-60x+48 \\[4pt]
&=12(x^2-5x+4) \\[4pt]
&=12(x-1)(x-4)
\end{align*}
よって，$0\leqq x\leqq5$ における $f(x)$ の増減は次のようになる。
\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 4 & \cdots & 5 \\\hline
f'(x) & & + & 0 & – & 0 & + & \\\hline
f(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & \\\hline
\end{array}
\end{align*}
ここで $x=0,~1,~4,~5$ のときの $f(x)$ の値を求めると次のようになる。\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 4 & \cdots & 5 \\\hline
f'(x) & & + & 0 & – & 0 & + & \\\hline
f(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & \\\hline
\end{array}
\end{align*}
\begin{align*}
&f(0)=-13 \\[4pt]
&f(1)=4-30+48-13=9 \\[4pt]
&f(4)=256-480+192-13-45 \\[4pt]
&f(5)=500-750+240-13=-23
\end{align*}
よって，最大値は9，最小値は $-45$ となるから，最大値と最小値の差は&f(0)=-13 \\[4pt]
&f(1)=4-30+48-13=9 \\[4pt]
&f(4)=256-480+192-13-45 \\[4pt]
&f(5)=500-750+240-13=-23
\end{align*}
\begin{align*}
9-(-45)=54
\end{align*}
9-(-45)=54
\end{align*}
3次関数の極大値の最小値
2021年 北海学園大関数 $f(x)=-2x^3+3(a+1)x^2-6ax-3a^2+9a-4$ は極大値 $b$ をもつ。このとき，次の問いに答えよ。ただし，$a$ は定数とする。
(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
(2) $a<1$ のとき，$b$ を $a$ の式で表せ。
(3) $0\leqq a\leqq4$ のとき，$b$ の最小値を求めよ。
(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
(2) $a<1$ のとき，$b$ を $a$ の式で表せ。
(3) $0\leqq a\leqq4$ のとき，$b$ の最小値を求めよ。
ヒロ
(1)は微分するだけだから簡単だろう。
【(1)の解答と考え方】
\begin{align*} f'(x)=-6x^2+6(a+1)x-6a \end{align*}
【(2)の解答と考え方】
(1)の結果を利用して，$f'(x)=0$ を解くと
(1)の結果を利用して，$f'(x)=0$ を解くと
\begin{align*} &f'(x)=-6\{x^2-(a+1)x+a\} \\[4pt] &(x-1)(x-a)=0 \\[4pt] &x=1,~a \end{align*}
$a<1$ より，$f(x)$ の増減は次のようになる。\begin{align*} \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline x & \cdots & a & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f'(x) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow \\\hline \end{array} \end{align*}
よって，$f(x)$ は $x=1$ で極大となる。求める極大値は\begin{align*} &b=-2+3(a+1)-6a-3a^2+9a-4 \\[4pt] &b=-3a^2+6a-3 \end{align*}
【(3)の解答と考え方】
まず，極大値が存在するときと存在しないときで場合分けして考えよう。
(i) $a=1$ のとき $f'(x)=-6(x-1)^2\geqq0$ となるから，極大値は存在しない。
次に $a\neq1$ のときを考えるが，$a$ の値によって極大となる $x$ の値が変化することに注意しよう。(2)で $a<1$ のときを考えているから，$0\leqq a<1$ と $1<a\leqq4$ で場合分けすれば良いことが分かるだろう。
(ii) $0\leqq a<1$ のとき (2)の結果から，$b=-3(a-1)^2$ となるから，$a=0$ のとき，$b$ は最小値 $-3$ をとる。
(iii) $1<a\leqq4$ のとき $f(x)$ の増減は次のようになる。
まず，極大値が存在するときと存在しないときで場合分けして考えよう。
(i) $a=1$ のとき $f'(x)=-6(x-1)^2\geqq0$ となるから，極大値は存在しない。
次に $a\neq1$ のときを考えるが，$a$ の値によって極大となる $x$ の値が変化することに注意しよう。(2)で $a<1$ のときを考えているから，$0\leqq a<1$ と $1<a\leqq4$ で場合分けすれば良いことが分かるだろう。
(ii) $0\leqq a<1$ のとき (2)の結果から，$b=-3(a-1)^2$ となるから，$a=0$ のとき，$b$ は最小値 $-3$ をとる。
(iii) $1<a\leqq4$ のとき $f(x)$ の増減は次のようになる。
\begin{align*} \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline x & \cdots & 1 & \cdots & a & \cdots \\\hline f'(x) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow \\\hline \end{array} \end{align*}
よって，$x=a$ のとき，$f(x)$ は極大となる。極大値 $b$ は\begin{align*} b&=-2a^3+3(a+1)a^2-6a^2-3a^2+9a-4 \\[4pt] &=a^3-6a^2+9a-4 \end{align*}
このとき\begin{align*} f'(a)&=3a^2-12a+9 \\[4pt] &=3(a^2-4a+3) \\[4pt] &=3(a-1)(a-3) \end{align*}
よって，$f(a)$ の増減は次のようになる。\begin{align*} \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline a & 1 & \cdots & 3 & \cdots & 4 \\\hline f'(a) & & – & 0 & + & \cdots \\\hline f(a) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\\hline \end{array} \end{align*}
したがって，$a=3$ で極小かつ最小となる。最小値は\begin{align*} 27-54+27-4=-4 \end{align*}
(i)，(ii)，(iii)より，$b$ の最小値は $-4$ である。