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【数学IA】倍数判定法【福岡大・医】

倍数判定法数学IAIIB
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ここでは与えられた自然数が,ある自然数の倍数であるかを判定する方法について説明します。

自然数を見たときに,その自然数が2の倍数かどうかや5の倍数かどうかは瞬時に判定できるでしょう。

3の倍数や4の倍数などについても,できるだけ短い時間で判定できるようにしましょう。

また,有名な数について知っておくことで,短時間で約数を見つけることができるため,入試においても時間的に有利になるでしょう。

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2の倍数と5の倍数の判定法

ヒロ
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まずは2の倍数と5の倍数の判定法を考える。

【2の倍数と5の倍数の判定法】
 自然数 $N$ の一の位の数字を $a$ とすると,0以上の整数 $k$ を用いて
\begin{align*}
N=10k+a
\end{align*}
と表すことができる。$10=2\times5$ より,$10k$ は2の倍数でも5の倍数でもある。
 したがって,$N$ が2の倍数となるのは,$a$ が2の倍数のときであり,$N$ が5の倍数となるのは,$a$ が5の倍数のときである。
 よって,$N$ が2の倍数となるのは,一の位が0, 2, 4, 6, 8のいずれかであるときである。また,$N$ が5の倍数となるのは,一の位が0, 5のいずれかのときである。

4の倍数と8の倍数の判定法

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次に4の倍数の判定法を考える。

【4の倍数判定法】
 自然数 $N$ の下二桁の数を $a$ とすると,0以上の整数 $k$ を用いて
\begin{align*}
N=100k+a
\end{align*}
と表すことができる。$100=4\times25$ より,$100k$ は4の倍数である。
 したがって,$N$ が4の倍数となるのは,下二桁が4の倍数のときである。
ヒロ
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同じようにして8の倍数も判定できる。

【8の倍数判定法】
 自然数 $N$ の下三桁の数を $a$ とすると,0以上の整数 $k$ を用いて
\begin{align*}
N=1000k+a
\end{align*}
と表すことができる。$1000=8\times125$ より,$1000k$ は8の倍数である。
 したがって,$N$ が8の倍数となるのは,下三桁が8の倍数のときである。

3の倍数と9の倍数の判定法

ヒロ
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次に3の倍数と9の倍数の判定法を考える。

【3の倍数と9の倍数の判定法】
例えば4桁の自然数 $N$ の千の位を $a$,百の位を $b$,十の位を $c$,一の位を $d$ とすると
\begin{align*}
N=1000a+100b+10c+d
\end{align*}
と表すことができる。ここで
\begin{align*}
N&=999a+99b+9c+(a+b+c+d) \\[4pt]
&=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)
\end{align*}
と変形すると,$3(333a+33b+3c)$ は3の倍数であるから,$N$ が3の倍数となるのは,$a+b+c+d$ が3の倍数のときである。
\begin{align*}
N&=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
\end{align*}
と変形すると,$9(111a+11b+c)$ が9の倍数であるから,$N$ が9の倍数となるのは,$a+b+c+d$ が9の倍数のときである。
 桁数を増やしても,同様のことがいえる。

11の倍数判定法

ヒロ
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11の倍数の判定法について考える。

【11の倍数判定法】
3の倍数のときと同様に,4桁の自然数 $N=1000a+100b+10c+d$ を考える。ここで
\begin{align*}
N&=11(91a+9b+c)+(-a+b-c+d)
\end{align*}
と変形すると,$11(91a+9b+c)$ が11の倍数であるから,$N$ が11の倍数となるのは,$-a+b-c+d$ が11の倍数のときである。
 5桁の場合を考える。一万の位を $a$,千の位を $b$,百の位を $c$,十の位を $d$,一の位を $e$ とすると
\begin{align*}
N=10000a+1000b+100c+10d+e
\end{align*}
と表すことができる。ここで
\begin{align*}
N&=11(909a+91b+9c+d)+(a-b+c-d+e)
\end{align*}
と変形すると,$11(909a+91b+9c+d)$ が11の倍数であるから,$N$ が11の倍数となるのは,$a-b+c-d+e$ が11の倍数のときである。
 結論としては,$N$ が11の倍数となるのは,$(奇数番目の数の和)-(偶数番目の数の和)$ が11の倍数のときである。

倍数判定法のまとめ

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上で扱わなかったものについてもまとめて書くと次のようになる。

倍数判定法
  1. 2の倍数
    一の位が0, 2, 4, 6, 8のいずれか。
  2. 3の倍数
    各位の数の和が3の倍数
  3. 4の倍数
    下二桁が4の倍数
  4. 5の倍数
    一の位が0, 5のいずれかのときである。
  5. 6の倍数
    2の倍数かつ3の倍数
  6. 7の倍数
    判定法はあるが,実際に7で割ってみた方が速い
  7. 8の倍数
    下三桁が8の倍数
  8. 9の倍数
    各位の数の和が3の倍数
  9. 10の倍数
    一の位が0
  10. 11の倍数
    奇数番目の数の和と偶数番目の数の和との差が11の倍数

大きい数を素因数分解するとき

ヒロ
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倍数判定法を使っても,大きい数を素因数分解するときは苦労するため,有名な数については色々知っておくても良いだろう。

【有名な数】
 $1001=7\times11\times13$ であるから,1001で割ることができた時点で,その数は7, 11, 13の倍数であることが分かる。また,1001で割れるかどうかは,3つの数字が繰り返されているかどうかで判定することもできる。
 例えば,5桁の数98098の場合は
\begin{align*}
98098&=98000+98 \\[4pt]
&=98\times1001
\end{align*}
となり1001の倍数であることが分かる。
 また,6桁の数123123の場合は123が繰り返し並んでいるから
\begin{align*}
123123=123\times1001
\end{align*}
であることがすぐに分かる。4571567の場合は
\begin{align*}
4571567&=4567000+4567 \\[4pt]
&=4567\times1001
\end{align*}
となり1001の倍数であることが分かるが,繰り上がりがあるため,「もしかして・・・」と疑ってみないと難しいだろう。
 他には,1が続く数の2乗については色々覚えている人もいるだろう。
\begin{align*}
&11^2=121 \\[4pt]
&111^2=12321 \\[4pt]
&1111^2=1234321 \\[4pt]
&11111^2=123454321 \\[4pt]
&111111^2=12345654321 \\[4pt]
&1111111^2=1234567654321 \\[4pt]
&11111111^2=123456787654321 \\[4pt]
&111111111^2=12345678987654321
\end{align*}
1が並ぶ個数が9以下であれば,1から1が並ぶ個数まで順に整数を並べてから1まで下がってくれば良いことが分かる。

素因数分解に関する問題

ヒロ
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次の問題を解いてみよう。

2019年 福岡大・医11桁の自然数12345654321に含まれる素因数で一番大きい数は $\myhako$ である。
ヒロ
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倍数判定法を活用して素因数分解をしよう。

【考え方と解答】
12345654321と1から6まで上がって1に戻ってきているから
\begin{align*}
12345654321=111111^2
\end{align*}
であることが分かる。したがって,111111を素因数分解する。
各位の数の和が6で3の倍数であるから,111111は3の倍数である。
\begin{align*}
111111=3\times37037
\end{align*}
37037は $37000+37$ と考えることで1001の倍数であることが分かる。
\begin{align*}
37037&=37\times1001 \\[4pt]
&=37\times7\times11\times13
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
12345654321&=(3\times7\times11\times13\times37)^2 \\[4pt]
&=3^2\Cdota7^2\Cdota11^2\Cdota13^2\Cdota37^2
\end{align*}
となるから,12345654321に含まれる素因数で一番大きい数は37である。
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