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2015年 立教大
2015年 立教大$2^{\frac{1}{2}},~3^{\frac{1}{3}},~5^{\frac{1}{5}}$ の大小関係は $\myhako<\myhako<\myhako$ である。
【考え方と解答】
指数が整数になるように何乗かしよう。しかし，3つの数の指数が同時に整数になるようにすると30乗することになり，
指数が整数になるように何乗かしよう。しかし，3つの数の指数が同時に整数になるようにすると30乗することになり，
\begin{align*} 2^{15},~3^{10},~5^6 \end{align*}
となる。これを計算すると \begin{align*} 2^{15}=32768,~3^{10}=59049,~5^6=15625 \end{align*}
となるから \begin{align*} &5^6<2^{15}<3^{10} \\[4pt] &5^{\frac{1}{5}}<2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}} \end{align*}
ヒロ
これでも良いが，これは $2^{15}$ や $3^{10}$ を覚えている人向けの解答だろう。
ヒロ
空欄を埋めるだけの問題だから，累乗の値を覚えていれば，それだけ速く楽に答えを得ることができる。
ヒロ
ただ，できることなら計算をあまりしたくない。そこで少し工夫した解答も示しておく。
【別の考え方と解答】
また，
①，②より
\begin{align*} &(2^{\frac{1}{2}})^6=2^3=8 \\[4pt] &(3^{\frac{1}{3}})^6=3^2=9 \end{align*}
であるから，$2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}}~\cdots\cdots①$また，
\begin{align*} &(2^{\frac{1}{2}})^{10}=2^5=32 \\[4pt] &(5^{\frac{1}{5}})^{10}=5^2=25 \end{align*}
であるから，$5^{\frac{1}{5}}<2^{\frac{1}{2}}~\cdots\cdots②$①，②より
\begin{align*} 5^{\frac{1}{5}}<2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}} \end{align*}
2018年 岐阜聖徳学園大
2018年 岐阜聖徳学園大4つの数 $2^{16},~3^{12},~5^9,~11^6$ を小さい方から順に並べて記せ。
【考え方と解答】
大小を比較する場合，底を揃えるか指数を揃えるかのどちらかを考える。この問題では指数を揃えることを考える。指数に着目すると，12，9，6の3つは3の倍数であるから，3に揃えることができる。
大小を比較する場合，底を揃えるか指数を揃えるかのどちらかを考える。この問題では指数を揃えることを考える。指数に着目すると，12，9，6の3つは3の倍数であるから，3に揃えることができる。
\begin{align*}
&3^{12}=(3^4)^3=81^3 \\[4pt]
&5^9=(5^3)^3=125^3 \\[4pt]
&11^6=(11^2)^3=121^3
\end{align*}
底について $81<121<125$ であるから &3^{12}=(3^4)^3=81^3 \\[4pt]
&5^9=(5^3)^3=125^3 \\[4pt]
&11^6=(11^2)^3=121^3
\end{align*}
\begin{align*} &81^3<121^3<125^3 \\[4pt] &3^{12}<11^6<5^9 \end{align*}
あとは $2^{16}$ がどこに入るかを考えよう。小さい方から順に調べていくことにする。$3^{12}$ と大小比較をする場合は，指数を4に揃えて考える。 \begin{align*} &3^{12}=(3^3)^4=27^4 \\[4pt] &2^{16}=(2^4)^4=16^4 \end{align*}
底について $16<27$ であるから \begin{align*} &16^4<27^4 \\[4pt] &2^{16}<3^{12} \end{align*}
となる。よって \begin{align*} 2^{16}<3^{12}<11^6<5^9 \end{align*}