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2018年 大妻女子大
2018年 大妻女子大$\theta$ が第4象限の角で，$\cos\theta=\dfrac{4}{5}$ のとき，$\sin\theta=\myhako$，$\tan\theta=\myhako$ である。
【考え方と解答】
まずは符号を特定できるものがあれば特定しよう。$\theta$ が第4象限の角であるから，$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の符号はともに負である。$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より
次に $\tan\theta$ の値を求めよう。
まずは符号を特定できるものがあれば特定しよう。$\theta$ が第4象限の角であるから，$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の符号はともに負である。$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より
\begin{align*}
\sin\theta&=-\sqrt{1-\cos^2\theta} \\[4pt]
&=-\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2} \\[4pt]
&=-\dfrac{3}{5}
\end{align*}
ここで一言付け加えておくと，実際には上で書いたようには計算をしていない。$\cos\theta=\dfrac{4}{5}$ を見た時点で，$3:4:5$ の直角三角形を意識すると，「$\sin\theta$ の値は $\dfrac{3}{5}$ か $-\dfrac{3}{5}$ である」ことが分かる。符号が負であると分かった瞬間に，$\sin\theta=-\dfrac{3}{5}$ であることが分かる。\sin\theta&=-\sqrt{1-\cos^2\theta} \\[4pt]
&=-\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2} \\[4pt]
&=-\dfrac{3}{5}
\end{align*}
次に $\tan\theta$ の値を求めよう。
\begin{align*}
\tan\theta&=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\sin\theta\Cdota\dfrac{1}{\cos\theta} \\[4pt]
&=-\dfrac{3}{5}\Cdota\dfrac{5}{4} \\[4pt]
&=-\dfrac{3}{4}
\end{align*}
\tan\theta&=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\sin\theta\Cdota\dfrac{1}{\cos\theta} \\[4pt]
&=-\dfrac{3}{5}\Cdota\dfrac{5}{4} \\[4pt]
&=-\dfrac{3}{4}
\end{align*}
2016年 金沢工業大
2016年 金沢工業大$\tan\theta=\dfrac{2}{\sqrt{5}}~\left(\pi<\theta<\dfrac{3}{2}\pi\right)$ のとき
\begin{align*} \dfrac{\cos\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}=-\dfrac{\myBox{アイ}+\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ}}}{\myBox{オ}} \end{align*}
である。【考え方と解答】
$\tan\theta>0$，$\pi<\theta<\dfrac{3}{2}\pi$ より
$\tan\theta>0$，$\pi<\theta<\dfrac{3}{2}\pi$ より
\begin{align*} \sin\theta<0,~\cos\theta<0 \end{align*}
よって，$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ より \begin{align*} \cos\theta&=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} \\[4pt] &=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}} \\[4pt] &=-\dfrac{\sqrt{5}}{3} \\[4pt] \sin\theta&=\tan\theta\cos\theta \\[4pt] &=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\Cdota\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right) \\[4pt] &=-\dfrac{2}{3} \end{align*}
したがって \begin{align*} &\dfrac{\cos\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta} \\[4pt] &=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{1-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}+\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{1-\dfrac{2}{3}} \\[4pt] &=\dfrac{-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}+\dfrac{-2}{3-2} \\[4pt] &=\dfrac{-\sqrt{5}(3+\sqrt{5})}{4}-2 \\[4pt] &=-\dfrac{13+3\sqrt{5}}{4} \end{align*}