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アステロイド曲線の回転体の体積
ヒロ
アステロイド曲線で囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求めよう。
第1象限の部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を2倍すればよいから
\begin{align*}
V&=2\dint{0}{a}\pi y^2\;dx \\
&=2\dint{\frac{\pi}{2}}{0}\pi y^2\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta \\[4pt]
&=2\pi\dint{\frac{\pi}{2}}{0}a^2\sin^6\theta\Cdota3a\cos^2\theta(-\sin\theta)\;d\theta \\[4pt]
&=6\pi a^3\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\sin^7\theta\cos^2\theta\;d\theta \\[4pt]
&=6\pi a^3\dint{0}{\frac{\pi}{2}}(\sin^7\theta-\sin^9\theta)\;d\theta \\[4pt]
&=6\pi a^3(I_7-I_9) \\[4pt]
&=6\pi a^3\left(\dfrac67\Cdota\dfrac45\Cdota\dfrac23\Cdota1
-\dfrac89\Cdota\dfrac67\Cdota\dfrac45\Cdota\dfrac23\Cdota1\right) \\[4pt]
&=6\pi a^3\Cdota\dfrac19\Cdota\dfrac67\Cdota\dfrac45\Cdota\dfrac23 \\[4pt]
&=\dfrac{32}{105}\pi a^3
\end{align*}
V&=2\dint{0}{a}\pi y^2\;dx \\
&=2\dint{\frac{\pi}{2}}{0}\pi y^2\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta \\[4pt]
&=2\pi\dint{\frac{\pi}{2}}{0}a^2\sin^6\theta\Cdota3a\cos^2\theta(-\sin\theta)\;d\theta \\[4pt]
&=6\pi a^3\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\sin^7\theta\cos^2\theta\;d\theta \\[4pt]
&=6\pi a^3\dint{0}{\frac{\pi}{2}}(\sin^7\theta-\sin^9\theta)\;d\theta \\[4pt]
&=6\pi a^3(I_7-I_9) \\[4pt]
&=6\pi a^3\left(\dfrac67\Cdota\dfrac45\Cdota\dfrac23\Cdota1
-\dfrac89\Cdota\dfrac67\Cdota\dfrac45\Cdota\dfrac23\Cdota1\right) \\[4pt]
&=6\pi a^3\Cdota\dfrac19\Cdota\dfrac67\Cdota\dfrac45\Cdota\dfrac23 \\[4pt]
&=\dfrac{32}{105}\pi a^3
\end{align*}
まとめ
ヒロ
アステロイド曲線についてまとめると次のようになる。
アステロイド曲線
- グラフの概形
- 媒介変数表示\begin{align*}
x=a\cos^3\theta,~~y=a\sin^3\theta
\end{align*} - 方程式\begin{align*}
x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}
\end{align*} - 面積\begin{align*}
S=\dfrac{3}{8}\pi a^2
\end{align*} - 曲線の長さ\begin{align*}
L=6a
\end{align*} - 回転体の体積\begin{align*}
V=\dfrac{32}{105}\pi a^3
\end{align*}