ここでは三角比を含む方程式について解説します。
常に三角比の定義「サインはy座標，コサインはx座標，タンジェントは傾き」を意識しましょう。
単位円と三角比の値の位置関係
ヒロ
まずはサインとコサインの値が与えられたときに，描く必要がある直線の書き方をマスターしよう。
ヒロ
三角定規に現れる角度のサインやコサインの値で正のものは $\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{\sqrt{2}},~\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。
ヒロ
このうち，描くのが最も簡単な $\dfrac{1}{2}$ から説明する。
【直線 $x=\dfrac{1}{2}$ の描き方】
原点を中心とする半径1の半円（上半分）を描こう。
直線 $x=\dfrac{1}{2}$ を描きたいときは，点 $\left(\dfrac{1}{2},~0\right)$ （図の赤い点）を通り $x$ 軸に垂直な直線を描こう。
原点を中心とする半径1の半円（上半分）を描こう。
直線 $x=\dfrac{1}{2}$ を描きたいときは，点 $\left(\dfrac{1}{2},~0\right)$ （図の赤い点）を通り $x$ 軸に垂直な直線を描こう。
【直線 $y=\dfrac{1}{2}$ の描き方】
直線 $y=\dfrac{1}{2}$ も同じように簡単に描くことができる。点 $\left(0,~\dfrac{1}{2}\right)$ （図の赤い点）を通り $y$ 軸に垂直な直線を描くだけだ。
直線 $y=\dfrac{1}{2}$ も同じように簡単に描くことができる。点 $\left(0,~\dfrac{1}{2}\right)$ （図の赤い点）を通り $y$ 軸に垂直な直線を描くだけだ。
【2直線 $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}},~y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の描き方】
直線 $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の描き方を知ろう。そのために
直線 $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の描き方を知ろう。そのために
\begin{align*}
\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=1
\end{align*}
であることを知っておこう。つまり，直線 $y=x$ と半円の交点が $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},~\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ である。したがって，点 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},~\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ （図の赤い点）を通るように各座標軸に垂直な直線を引くことで，直線 $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ や線 $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を簡単に描くことができる。\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=1
\end{align*}
【直線 $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の描き方】
次は直線 $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の描き方を知ろう。$x$ 座標が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ になる点を正確に取るのは少し難しいため工夫する。青い点 $\left(0,~\dfrac{1}{2}\right)$ を利用して直線 $y=\dfrac{1}{2}$（破線）を引いて半円との交点（図の赤い点）をとる。実際には破線を引かずに，赤い点の位置を一瞬で取れるようにすると良い。
赤い点の $x$ 座標は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるから，赤い点を通り，$x$ 軸に垂直な直線の方程式が $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる。
次は直線 $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の描き方を知ろう。$x$ 座標が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ になる点を正確に取るのは少し難しいため工夫する。青い点 $\left(0,~\dfrac{1}{2}\right)$ を利用して直線 $y=\dfrac{1}{2}$（破線）を引いて半円との交点（図の赤い点）をとる。実際には破線を引かずに，赤い点の位置を一瞬で取れるようにすると良い。
赤い点の $x$ 座標は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるから，赤い点を通り，$x$ 軸に垂直な直線の方程式が $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる。
【直線 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の描き方】
最後に直線 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の描き方を知ろう。青い点 $\left(\dfrac{1}{2},~0\right)$ を利用して直線 $x=\dfrac{1}{2}$（破線）を引いて半円との交点（図の赤い点）をとる。先程と同様に，実際には破線を引かず，赤点の位置を取れるようにすると良い。
赤い点の $y$ 座標は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるから，赤い点を通り，$y$ 軸に垂直な直線の方程式が $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる。
最後に直線 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の描き方を知ろう。青い点 $\left(\dfrac{1}{2},~0\right)$ を利用して直線 $x=\dfrac{1}{2}$（破線）を引いて半円との交点（図の赤い点）をとる。先程と同様に，実際には破線を引かず，赤点の位置を取れるようにすると良い。
赤い点の $y$ 座標は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるから，赤い点を通り，$y$ 軸に垂直な直線の方程式が $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる。
ヒロ
上で描いた直線を自由に描くことができれば，赤い点を第2象限にとることで $x=-\dfrac{1}{2}$, $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ も簡単に描くことができるだろう。
ヒロ
次はタンジェントの値が与えられたときに，描く必要がある直線の書き方をマスターしよう。
ヒロ
$y=x$, $y=\sqrt{3}x$, $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ の3種類を描けるようになる必要があるが，直線 $y=x$ は簡単なのでそれ以外の直線を描けるようにしよう。
【直線 $y=\sqrt{3}x$ の描き方】
$y=\sqrt{3}x$ のグラフは原点を通り，傾きが $\sqrt{3}$ である直線であるから，次の図のように，赤い点 $(1,~\sqrt{3})$ と原点を結んだ直線が $y=\sqrt{3}x$ である。
$y$ 座標が $\sqrt{3}$ になるような点を正確に取るのが難しく感じる人は，$x$ 座標が $\dfrac{1}{2}$ である半円上の点（青い点）を通るようにすると良い。
$y=\sqrt{3}x$ のグラフは原点を通り，傾きが $\sqrt{3}$ である直線であるから，次の図のように，赤い点 $(1,~\sqrt{3})$ と原点を結んだ直線が $y=\sqrt{3}x$ である。
$y$ 座標が $\sqrt{3}$ になるような点を正確に取るのが難しく感じる人は，$x$ 座標が $\dfrac{1}{2}$ である半円上の点（青い点）を通るようにすると良い。
【直線 $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ の描き方】
直線 $x=1$ 上の点で $y$ 座標が $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ である点をとることが難しいので工夫する。傾きが $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ であるから，次の図のように，赤い点 $(\sqrt{3},~1)$ と原点を結んだ直線が $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ である。
$x$ 座標が $\sqrt{3}$ になるような点を正確に取るのが難しく感じる人は，$y$ 座標が $\dfrac{1}{2}$ である半円上の点（青い点）を通るようにすると良い。
赤い点を第2象限にとると同じようにして $y=-\sqrt{3}x$, $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ も簡単に描くことができるだろう。
直線 $x=1$ 上の点で $y$ 座標が $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ である点をとることが難しいので工夫する。傾きが $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ であるから，次の図のように，赤い点 $(\sqrt{3},~1)$ と原点を結んだ直線が $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ である。
$x$ 座標が $\sqrt{3}$ になるような点を正確に取るのが難しく感じる人は，$y$ 座標が $\dfrac{1}{2}$ である半円上の点（青い点）を通るようにすると良い。
赤い点を第2象限にとると同じようにして $y=-\sqrt{3}x$, $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ も簡単に描くことができるだろう。
三角比を含む方程式の問題
問題$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のとき，次の等式を満たす $\theta$ を求めよ。
(1) $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$
(2) $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
(3) $\tan\theta=-\sqrt{3}$
(1) $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$
(2) $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
(3) $\tan\theta=-\sqrt{3}$
【(1)の考え方と解答】
サインは $y$ 座標を表すから，直線 $y=\dfrac{1}{2}$ を引いて半円との交点（図の赤い点）を得る。
求める角 $\theta$ は，原点と赤い点を結んだ線分と $x$ 軸の正の向きとで作られる角で，2つある。
次の図で $\sankaku{OPH}$ は $\text{PH}:\text{OP}:\text{OH}=1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形であるから，$\kaku{POH}=30\Deg$ である。
半円上で $y$ 座標が $\dfrac{1}{2}$ であるもう1つの点をQとすると対称性から $\kaku{HOQ}=150\Deg$ と分かる。
したがって，$\theta=30\Deg,~150\Deg$
サインは $y$ 座標を表すから，直線 $y=\dfrac{1}{2}$ を引いて半円との交点（図の赤い点）を得る。
求める角 $\theta$ は，原点と赤い点を結んだ線分と $x$ 軸の正の向きとで作られる角で，2つある。
次の図で $\sankaku{OPH}$ は $\text{PH}:\text{OP}:\text{OH}=1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形であるから，$\kaku{POH}=30\Deg$ である。
半円上で $y$ 座標が $\dfrac{1}{2}$ であるもう1つの点をQとすると対称性から $\kaku{HOQ}=150\Deg$ と分かる。
したがって，$\theta=30\Deg,~150\Deg$
(2) $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
【(2)の考え方と解答】
コサインは $x$ 座標を表すから，破線で引いた直線 $y=x$ と半円との交点（赤い点）を通るように，直線 $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を引く。
求める角 $\theta$ は，原点と赤い点を結んだ線分と $x$ 軸の正の向きとで作られる角である。
次の図で $\sankaku{OPH}$ は直角二等辺三角形であるから，$\kaku{POH}=45\Deg$ である。そもそも赤い点を考えた時点で直線 $y=x$ を引いていて，$\kaku{POH}=45\Deg$ であることは分かっていたりする。まさに「鶏が先か卵が先か」状態。
したがって，求める角 $\theta$ は $\theta=45\Deg$
コサインは $x$ 座標を表すから，破線で引いた直線 $y=x$ と半円との交点（赤い点）を通るように，直線 $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を引く。
求める角 $\theta$ は，原点と赤い点を結んだ線分と $x$ 軸の正の向きとで作られる角である。
次の図で $\sankaku{OPH}$ は直角二等辺三角形であるから，$\kaku{POH}=45\Deg$ である。そもそも赤い点を考えた時点で直線 $y=x$ を引いていて，$\kaku{POH}=45\Deg$ であることは分かっていたりする。まさに「鶏が先か卵が先か」状態。
したがって，求める角 $\theta$ は $\theta=45\Deg$
(3) $\tan\theta=-\sqrt{3}$
【(3)の考え方と解答】
タンジェントは傾きを表すから直線 $y=-\sqrt{3}x$ を描こう。
求める角 $\theta$ は，原点と赤い点を結んだ線分と $x$ 軸の正の向きとで作られる角である。
$\sankaku{POH}$ は $\text{OH}:\text{OP}:\text{PH}=1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形であるから，$\kaku{POH}=60\Deg$ である。
したがって，求める角 $\theta$ は $\theta=120\Deg$
タンジェントは傾きを表すから直線 $y=-\sqrt{3}x$ を描こう。
求める角 $\theta$ は，原点と赤い点を結んだ線分と $x$ 軸の正の向きとで作られる角である。
$\sankaku{POH}$ は $\text{OH}:\text{OP}:\text{PH}=1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形であるから，$\kaku{POH}=60\Deg$ である。
したがって，求める角 $\theta$ は $\theta=120\Deg$
三角比を含む方程式の問題
問題$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のとき，次の等式を満たす $\theta$ を求めよ。
(1) $\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
(2) $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$
(3) $\tan\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
(1) $\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
(2) $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$
(3) $\tan\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
ヒロ
慣れてきたら，サクサク解いていこう。
【(1)の考え方と解答】
半円と直線 $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を描こう。
求める角 $\theta$ は上図の矢印で示した角であるから，$\theta=45\Deg,~135\Deg$
半円と直線 $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を描こう。
求める角 $\theta$ は上図の矢印で示した角であるから，$\theta=45\Deg,~135\Deg$
(2) $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$
【(2)の考え方と解答】
半円と直線 $x=-\dfrac{1}{2}$ を描こう。
図より，$\theta=120\Deg$
半円と直線 $x=-\dfrac{1}{2}$ を描こう。
図より，$\theta=120\Deg$
(3) $\tan\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
【(3)の考え方と解答】
半円と直線 $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ を描こう。
図より，$\theta=150\Deg$
半円と直線 $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ を描こう。
図より，$\theta=150\Deg$