2019年センター試験 数学ⅠA 第4問 整数の解説をします。
まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。
2019年 センターⅠA 第4問 整数(1) 不定方程式
(2) 49の倍数である自然数 $A$ と23の倍数である自然数 $B$ の組 $(A,~B)$ を考える。$A$ と $B$ の差の絶対値が1となる組 $(A,~B)$ の中で，$A$ が最小になるのは
(3) 連続する三つの自然数 $a,~a+1,~a+2$ を考える。
$a$ と $a+1$ の最大公約数は1
$a+1$ と $a+2$ の最大公約数は1
$a$ と $a+2$ の最大公約数は1または $\myBox{セ}$
である。
また，次の条件がすべての自然数 $a$ で成り立つような自然数 $m$ のうち，最大のものは $m=\myBox{ソ}$ である。
条件：$a(a+1)(a+2)$ は $m$ の倍数である。
(4) 6762を素因数分解すると
$b$ を，$b(b+1)(b+2)$ が6762の倍数となる最小の自然数とする。このとき，$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $7^{~\mybox{チ}}$ の倍数であり，また，$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $\mybox{ツテ}$ の倍数である。したがって，$b=\myBox{トナニ}$ である。
\begin{align*}
49x-23y=1
\end{align*}
の解となる自然数 $x,~y$ の中で，$x$ の値が最小のものは49x-23y=1
\end{align*}
\begin{align*}
x=\myBox{ア},~y=\myBox{イウ}
\end{align*}
であり，すべての整数解は，$k$ を整数としてx=\myBox{ア},~y=\myBox{イウ}
\end{align*}
\begin{align*}
x=\myBox{エオ}~k+\mybox{ア},~y=\myBox{カキ}~k+\mybox{イウ}
\end{align*}
と表せる。x=\myBox{エオ}~k+\mybox{ア},~y=\myBox{カキ}~k+\mybox{イウ}
\end{align*}
(2) 49の倍数である自然数 $A$ と23の倍数である自然数 $B$ の組 $(A,~B)$ を考える。$A$ と $B$ の差の絶対値が1となる組 $(A,~B)$ の中で，$A$ が最小になるのは
\begin{align*}
(A,~B)=\left(49\times\myBox{ク},~23\times\myBox{ケコ}\right)
\end{align*}
である。また，$A$ と $B$ の差の絶対値が2となる組 $(A,~B)$ の中で，$A$ が最小になるのは(A,~B)=\left(49\times\myBox{ク},~23\times\myBox{ケコ}\right)
\end{align*}
\begin{align*}
(A,~B)=\left(49\times\myBox{サ},~23\times\myBox{シス}\right)
\end{align*}
である。(A,~B)=\left(49\times\myBox{サ},~23\times\myBox{シス}\right)
\end{align*}
(3) 連続する三つの自然数 $a,~a+1,~a+2$ を考える。
$a$ と $a+1$ の最大公約数は1
$a+1$ と $a+2$ の最大公約数は1
$a$ と $a+2$ の最大公約数は1または $\myBox{セ}$
である。
また，次の条件がすべての自然数 $a$ で成り立つような自然数 $m$ のうち，最大のものは $m=\myBox{ソ}$ である。
条件：$a(a+1)(a+2)$ は $m$ の倍数である。
(4) 6762を素因数分解すると
\begin{align*}
6762=2\times\myBox{タ}\times7^{~\myBox{チ}}\times\myBox{ツテ}
\end{align*}
である。6762=2\times\myBox{タ}\times7^{~\myBox{チ}}\times\myBox{ツテ}
\end{align*}
$b$ を，$b(b+1)(b+2)$ が6762の倍数となる最小の自然数とする。このとき，$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $7^{~\mybox{チ}}$ の倍数であり，また，$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $\mybox{ツテ}$ の倍数である。したがって，$b=\myBox{トナニ}$ である。
(1)の解答
ヒロ
まずは方程式の解を1つ見つけよう。
ヒロ
ユークリッドの互除法を利用するのが基本的な解法だね。
ユークリッドの互除法2つの自然数 $a,~b$ の最大公約数を $g(a,~b)$ と表すことにする。$a$ を $b$ で割ったときの商を $q$，余りを $r$ とすると
\begin{align*}
g(a,~b)=g(b,~r)
\end{align*}
が成り立つ。g(a,~b)=g(b,~r)
\end{align*}
【ア～キの解答】
よって，自然数 $x,~y$ の中で，$x$ の値が最小のものは
\begin{align*}
&49=23\times2+3~\cdots\cdots① \\[4pt]
&23=3\times7+2~\cdots\cdots② \\[4pt]
&3=2\times1+1~\cdots\cdots③
\end{align*}
①～③を逆に順番に使うと&49=23\times2+3~\cdots\cdots① \\[4pt]
&23=3\times7+2~\cdots\cdots② \\[4pt]
&3=2\times1+1~\cdots\cdots③
\end{align*}
\begin{align*}
1&=3-2 \\[4pt]
&=3-(23-3\times7) \\[4pt]
&=3\times8-23 \\[4pt]
&=(49-23\times2)\times8-23 \\[4pt]
&=49\times8-23\times17
\end{align*}
よって，1&=3-2 \\[4pt]
&=3-(23-3\times7) \\[4pt]
&=3\times8-23 \\[4pt]
&=(49-23\times2)\times8-23 \\[4pt]
&=49\times8-23\times17
\end{align*}
\begin{align*}
&49x-23y=1 \\[4pt]
&49\Cdota8-23\Cdota17=1
\end{align*}
の2式の差をとると&49x-23y=1 \\[4pt]
&49\Cdota8-23\Cdota17=1
\end{align*}
\begin{align*}
&49(x-8)-23(y-17)=0
\end{align*}
49と23は互いに素であるから，$x-8$ が23の倍数で，$y-17$ が49の倍数である。したがって，$k$ を整数として&49(x-8)-23(y-17)=0
\end{align*}
\begin{align*}
&x-8=23k,~y-17=49k \\[4pt]
&x=23k+8,~y=49k+17
\end{align*}
と表せる。&x-8=23k,~y-17=49k \\[4pt]
&x=23k+8,~y=49k+17
\end{align*}
よって，自然数 $x,~y$ の中で，$x$ の値が最小のものは
\begin{align*}
x=8,~y=17
\end{align*}
であり，すべての整数解は，$k$ を整数としてx=8,~y=17
\end{align*}
\begin{align*}
x=23k+8,~y=49k+17
\end{align*}
と表せる。x=23k+8,~y=49k+17
\end{align*}
(2)の解答
(2) 49の倍数である自然数 $A$ と23の倍数である自然数 $B$ の組 $(A,~B)$ を考える。$A$ と $B$ の差の絶対値が1となる組 $(A,~B)$ の中で，$A$ が最小になるのは
\begin{align*} (A,~B)=\left(49\times\myBox{ク},~23\times\myBox{ケコ}\right) \end{align*}である。また，$A$ と $B$ の差の絶対値が2となる組 $(A,~B)$ の中で，$A$ が最小になるのは\begin{align*} (A,~B)=\left(49\times\myBox{サ},~23\times\myBox{シス}\right) \end{align*}である。
ヒロ
問題文を読めば，(1)の不定方程式を利用するんだなと分かる。
【ク～コの解答】
$A$ が49の倍数で，$B$ が23の倍数のとき，$x,~y$ を自然数として
$A$ が49の倍数で，$B$ が23の倍数のとき，$x,~y$ を自然数として
\begin{align*}
A=49x,~B=23y
\end{align*}
と表せる。いま $x$ が最小になるとき，$A$ も最小になる。$A$ と $B$ の差の絶対値が1となるときA=49x,~B=23y
\end{align*}
\begin{align*}
\abs{49x-23y}=1
\end{align*}
となる。$49x-23y=1$ を満たす $x,~y$ のうち，$x$ が最小のものは(1)より $x=8,~y=17$ であることが分かっているから\abs{49x-23y}=1
\end{align*}
\begin{align*}
A=49\times8,~B=23\times17
\end{align*}
次に $49x-23y=-1$ を満たす $x,~y$ を調べる。$49\Cdot(-x)-23\Cdot(-y)=1$ と変形すると，特殊解が $-x=8,~-y=17$，すなわち $x=-8,~y=-17$ となることが分かる。したがって，$49x-23y=-1$ のすべての整数解はA=49\times8,~B=23\times17
\end{align*}
\begin{align*}
x=23k-8,~y=49k-17
\end{align*}
以上より，求める $A,~B$ の値はx=23k-8,~y=49k-17
\end{align*}
\begin{align*}
(A,~B)=(49\times8,~23\times17)
\end{align*}
(A,~B)=(49\times8,~23\times17)
\end{align*}
ヒロ
次は $A$ と $B$ の差の絶対値が2となる組の中で $A$ が最小になるものを求める問題。
【サ～スの解答】
$\abs{49x-23y}=2$ を満たす自然数 $x,~y$ を考える。文字を変えて，$49a-23b=1$ を考えて両辺に2をかけると
$\abs{49x-23y}=2$ を満たす自然数 $x,~y$ を考える。文字を変えて，$49a-23b=1$ を考えて両辺に2をかけると
\begin{align*}
49\Cdota2a-23\Cdota2b=2
\end{align*}
となるから，$2a=x,~2b=y$ とおけば $49x-23y=2$ を満たす。特殊解は $x=16,~y=34$ であるから，$49x-23y=2$ のすべての整数解は $k$ を整数として 49\Cdota2a-23\Cdota2b=2
\end{align*}
\begin{align*}
x=23k+16,~y=49k+34
\end{align*}
となる。この場合，$A$ が最小になるのは $k=0$ のときだから，$A,~B$ の組はx=23k+16,~y=49k+34
\end{align*}
\begin{align*}
&(A,~B)=(49\times16,~23\times34)
\end{align*}
となる。次に $49a-23b=-1$ を考える。両辺に2をかけると&(A,~B)=(49\times16,~23\times34)
\end{align*}
\begin{align*}
49\Cdota2a-23\Cdota2b=-2
\end{align*}
となるから，$2a=x,~2b=y$ とおけば $49x-23y=-2$ を満たす。特殊解は $x=-16,~y=-34$ であるから，$49x-23y=-2$ のすべての整数解は $k$ を整数として 49\Cdota2a-23\Cdota2b=-2
\end{align*}
\begin{align*}
x=23k-16,~y=49k-34
\end{align*}
となる。この場合，$A$ が最小になるのは $k=1$ のときだから，$A,~B$ の組はx=23k-16,~y=49k-34
\end{align*}
\begin{align*}
&(A,~B)=(49\times7,~23\times15)
\end{align*}
となる。したがって，求める $A,~B$ の組は&(A,~B)=(49\times7,~23\times15)
\end{align*}
\begin{align*}
&(A,~B)=(49\times7,~23\times15)
\end{align*}
&(A,~B)=(49\times7,~23\times15)
\end{align*}
ヒロ
比較的丁寧に解答を書いたため，解答が長くなっているが，まずはしっかりと理解することが重要。
(3)の解答
(3) 連続する三つの自然数 $a,~a+1,~a+2$ を考える。 $a$ と $a+1$ の最大公約数は1 $a+1$ と $a+2$ の最大公約数は1 $a$ と $a+2$ の最大公約数は1または $\myBox{セ}$ である。 また，次の条件がすべての自然数 $a$ で成り立つような自然数 $m$ のうち，最大のものは $m=\myBox{ソ}$ である。 条件：$a(a+1)(a+2)$ は $m$ の倍数である。
ヒロ
(3)の最初は最大公約数を求める問題。
【セの解答】
丁寧に解くと，$(a+2)\div a$ を計算して
丁寧に解くと，$(a+2)\div a$ を計算して
\begin{align*}
a+2=a\Cdota1+2
\end{align*}
であるから，ユークリッドの互除法よりa+2=a\Cdota1+2
\end{align*}
\begin{align*}
g(a,~a+2)=g(a,~2)
\end{align*}
$a$ と2の最大公約数は1または2であるから，$a$ と $a+2$ の最大公約数も1または2である。g(a,~a+2)=g(a,~2)
\end{align*}
ヒロ
次は3連続整数はどんな数の倍数かを求める問題。
ヒロ
「すべての自然数 $a$ で成り立つ」とあるから，$a$ に具体的な値を代入して必要条件を求めよう。また，次のポイントを知っておくと良い。
ヒロ
このことを知っていると，$a(a+1)(a+2)$ は連続3整数の積だから，6で割り切れることが一瞬で分かる。
ヒロ
ただ，連続2整数の積も含むため，2でも割り切れるし，3でも割り切れる。その部分について，細かく考える必要がある。
【ソの解答】
$a=1$ のとき，$a(a+1)(a+2)=6$ であり，これは2，3，6の倍数である。よって，$m$ は6以下である。
また，$a,~a+1,~a+2$ のうち，少なくとも1つは2で割り切れ，少なくとも1つは3で割り切れるから，$a(a+1)(a+2)$ は6で割り切れる，すなわち，6の倍数である。
したがって，求める最大の $m$ は $m=6$ である。
$a=1$ のとき，$a(a+1)(a+2)=6$ であり，これは2，3，6の倍数である。よって，$m$ は6以下である。
また，$a,~a+1,~a+2$ のうち，少なくとも1つは2で割り切れ，少なくとも1つは3で割り切れるから，$a(a+1)(a+2)$ は6で割り切れる，すなわち，6の倍数である。
したがって，求める最大の $m$ は $m=6$ である。
(4)の解答
(4) 6762を素因数分解すると
\begin{align*} 6762=2\times\myBox{タ}\times7^{~\myBox{チ}}\times\myBox{ツテ} \end{align*}である。 $b$ を，$b(b+1)(b+2)$ が6762の倍数となる最小の自然数とする。このとき，$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $7^{~\mybox{チ}}$ の倍数であり，また，$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $\mybox{ツテ}$ の倍数である。したがって，$b=\myBox{トナニ}$ である。
ヒロ
4桁の数を素因数分解する問題。
【タ～テの解答】
$6+7+6+2=21$ より，6762は3の倍数であることが分かる。6762を42で割ると
$6+7+6+2=21$ より，6762は3の倍数であることが分かる。6762を42で割ると
\begin{align*}
6762=42\times161
\end{align*}
161を7で割ると6762=42\times161
\end{align*}
\begin{align*}
161=7\times23
\end{align*}
であるから161=7\times23
\end{align*}
\begin{align*}
6762=2\times3\times7^2\times23
\end{align*}
6762=2\times3\times7^2\times23
\end{align*}
ヒロ
センター試験の性質上 $\myBox{チ}$ に1は入らず，2以上であることが確定するから，6762を294で割っても良い。
ヒロ
最後の $b$ の値を求めよう。
【ト～ニの解答】
$b$ は $b(b+1)(b+2)$ が6762の倍数となる最小の自然数であるから，$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $7^2$ であり，$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは23の倍数である。ここで(2)の結果が関係することに気付けるようにしよう。$b,~b+1,~b+2$ のうち，49の倍数であるものを $A$ とし，23の倍数であるものを $B$ とすると，$\abs{A-B}$ は0, 1, 2のいずれかの値をとる。
(i) $\abs{A-B}=0$ のとき，$A=B$ であるから，$b$ が最小になるのは $b+2=49\times23$ となるときで，このとき $b=1125$ となる。
(ii) $\abs{A-B}=1$ のとき，(2)の結果より，最小の $A$ は
(iii) $\abs{A-B}=2$ のとき，(2)の結果より，最小の $A$ は
以上より，求める $b$ の最小値は $b=343$ である。
$b$ は $b(b+1)(b+2)$ が6762の倍数となる最小の自然数であるから，$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $7^2$ であり，$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは23の倍数である。ここで(2)の結果が関係することに気付けるようにしよう。$b,~b+1,~b+2$ のうち，49の倍数であるものを $A$ とし，23の倍数であるものを $B$ とすると，$\abs{A-B}$ は0, 1, 2のいずれかの値をとる。
(i) $\abs{A-B}=0$ のとき，$A=B$ であるから，$b$ が最小になるのは $b+2=49\times23$ となるときで，このとき $b=1125$ となる。
(ii) $\abs{A-B}=1$ のとき，(2)の結果より，最小の $A$ は
\begin{align*}
(A,~B)=(49\times8,~23\times17)
\end{align*}
である。よって $b$ が最小になるのは $b+2=49\times8$ となるときで，このとき $b=390$ となる。(A,~B)=(49\times8,~23\times17)
\end{align*}
(iii) $\abs{A-B}=2$ のとき，(2)の結果より，最小の $A$ は
\begin{align*}
(A,~B)=(49\times7,~23\times15)
\end{align*}
である。よって $b$ が最小になるのは $b+2=49\times7$ となるときで，このとき $b=343$ となる。(A,~B)=(49\times7,~23\times15)
\end{align*}
以上より，求める $b$ の最小値は $b=343$ である。
(1)の別解
ヒロ
特殊解を求める方法としては，合同式を用いる方法もある。
【ア～ウの別解】
このとき
\begin{align*}
&49x-23y\equiv1\pmod{23} \\[4pt]
&49x\equiv1\pmod{23}
\end{align*}
また&49x-23y\equiv1\pmod{23} \\[4pt]
&49x\equiv1\pmod{23}
\end{align*}
\begin{align*}
49\equiv3\pmod{23}
\end{align*}
であるから49\equiv3\pmod{23}
\end{align*}
\begin{align*}
49x\equiv3x\pmod{23}
\end{align*}
よって，$3x\equiv1\pmod{23}$ となり，$x=23k+8$ と表せることが分かる。49x\equiv3x\pmod{23}
\end{align*}
このとき
\begin{align*}
&49(23k+8)-23y=1 \\[4pt]
&49\Cdota23k-23y+391=0 \\[4pt]
&23k-y+17=0 \\[4pt]
&y=23k+17
\end{align*}
&49(23k+8)-23y=1 \\[4pt]
&49\Cdota23k-23y+391=0 \\[4pt]
&23k-y+17=0 \\[4pt]
&y=23k+17
\end{align*}
2019年 センター数学ⅠA 整数を解いた感想
ヒロ
全体としては，暗算が得意な人が有利になるような問題。
ヒロ
(1)はよくある不定方程式の問題で楽だろう。しかし，(2)になると少し面倒になる。
ヒロ
(3)と(4)の最後意外は簡単であるが，最後が面倒なので，苦手な人は最後の $\myBox{トナニ}$ は捨てても良いかもしれない。
