2017年センター試験数学ⅡB 第1問指数関数・対数関数

2017年センター試験数学ⅡB 第1問指数関数・対数関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2017年センターⅡB 指数・対数関数座標平面上に点 $\mathrm{A}\left(0,~\dfrac{3}{2}\right)$ をとり，関数 $y=\log_2x$ のグラフ上に2点 $\mathrm{B}(p,~\log_2p)$, $\mathrm{C}(q,~\log_2q)$ をとる。線分ABを $1:2$ に内分する点がCであるとき，$p,~q$ の値を求めよう。
　真数の条件により，$p>\myBox{タ}$, $q>\mybox{タ}$ である。ただし，対数 $\log_ab$ に対し，$a$ を底といい，$b$ を真数という。
　線分ABを $1:2$ に内分する点の座標は，$p$ を用いて

\begin{align*}
\left(\dfrac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}}~p,~\dfrac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}~\log_2p+\myBox{ナ}\right)
\end{align*}

と表される。これがCの座標と一致するので

\begin{align*}
\begin{cases}
\dfrac{\mybox{テ}}{\mybox{ト}}~p=q &\cdots\cdots④ \\[4pt]
\dfrac{\mybox{テ}}{\mybox{ト}}~\log_2p+\mybox{ナ}=\log_2q &\cdots\cdots⑤
\end{cases}
\end{align*}

が成り立つ。
　⑤は

\begin{align*}
p=\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}~q^{~\myBox{ネ}} \cdots\cdots⑥
\end{align*}

と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて，$p>\mybox{タ}$, $q>\mybox{タ}$ に注意すると

\begin{align*}
p=\myBox{ノ}\sqrt{\myBox{ハ}},~q=\myBox{ヒ}\sqrt{\myBox{フ}}
\end{align*}

である。
　また，Cの $y$ 座標 $\log_2\left(\mybox{ヒ}\sqrt{\mybox{フ}}\right)$ の値を，小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると，$\myBox{ヘ}$ である。$\myBox{ヘ}$ に当てはまるものを，次の⓪～ⓑのうちから一つ選べ。ただし，$\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$, $\log_{10}7=0.8451$ とする。
⓪ 0.3　① 0.6　② 0.9　③ 1.3　④ 1.6　⑤ 1.9
⑥ 2.3　⑦ 2.6　⑧ 2.9　⑨ 3.3　ⓐ 3.6　ⓑ 3.9

Contents

1 考え方と解答
2 2017年センター数学ⅡB 指数関数・対数関数を解いた感想

考え方と解答

ヒロ

まずは真数条件の確認からだね。

【タの解答】
$\log_2p$ の真数が正であるから，$p>0$
$\log_2q$ の真数が正であるから，$q>0$

ヒロ

次は内分点の座標を求める問題。仮に公式を忘れていても求められるだろう。

【チ～ナの解答】
$x$ 座標は

\begin{align*}
\dfrac{2\Cdot0+1\Cdot p}{3}=\dfrac{1}{3}p
\end{align*}

であり，$y$ 座標は

\begin{align*}
\dfrac{2\Cdot\dfrac{3}{2}+1\log_2p}{3}=\dfrac{1}{3}\log_2p+1
\end{align*}

ヒロ

次の「これがCの・・・」という部分については，さらっと読んで次に進もう。

ヒロ

その次は⑤を変形する問題。対数法則を理解していれば大丈夫だろう。

【ニ～ネの解答】
⑤より

\begin{align*}
&\dfrac{1}{3}\log_2p+1=\log_2q \\[4pt]
&\log_2p+3=3\log_2q \\[4pt]
&\log_28p=\log_2q^3 \\[4pt]
&8p=q^3 \\[4pt]
&p=\dfrac{1}{8}q^3
\end{align*}

ヒロ

④と⑥の連立方程式を解こう。

【ノ～フの解答】
④より，$p=3q$ となる。これを⑥に代入すると

\begin{align*}
&3q=\dfrac{1}{8}q^3 \\[4pt]
&q^3-24q=0 \\[4pt]
&q(q^2-24)=0 \\[4pt]
&q=0,~\pm2\sqrt{6}
\end{align*}

$q>0$ より，$q=2\sqrt{6}$
このとき，$p=3q=6\sqrt{6}$

ヒロ

僕と同じように $q$ から求めた人はマークする欄を間違えないように，問題用紙に値を書き込んでからマークしよう。

ヒロ

最後は $\log_22\sqrt{6}$ の近似値を求める問題。$2\sqrt{6}$ を2,3,7,10のいずれかを使って積や商の形で表そう。

ヒロ

あとは底を10に変換すれば値を求めることができるね。

【ヘの解答】

\begin{align*}
\log_22\sqrt{6}&=1+\dfrac{1}{2}\log_26 \\[4pt]
&=1+\dfrac{1}{2}(1+\log_23) \\[4pt]
&=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\log_{10}3}{2\log_{10}2} \\[4pt]
&=1.5+\dfrac{0.4771}{2\Cdot0.3010} \\[4pt]
&\fallingdotseq1.5+\dfrac{48}{60} \\[4pt]
&=1.5+0.8 \\[4pt]
&=2.3
\end{align*}

よって，$\myBox{ヘ}=⑥$