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【数学ⅡB】曲線上の点における法線の方程式【名城大・東京薬科大・久留米大】

曲線上の点における法線数学IAIIB

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2020年 名城大

2020年 名城大$a$ を定数とする。放物線 $C:y=x^2$ 上の点 $(a,~a^2)$ における $C$ の接線を $l$ とし,点 $(a,~a^2)$ を通り直線 $l$ に垂直な直線を $l’$ とする。このとき,次の問いに答えよ。
(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。
(2) $a\neq0$ のとき,直線 $l’$ の方程式を求めよ。
ヒロ
ヒロ

(1)は接線の方程式を求める問題なので,大丈夫だろう。

【(1)の解答と考え方】
$y=x^2$ のとき,$y’=2x$ であるから,接線 $l$ の方程式は次のようになる。
\begin{align*}
&y=2a(x-a)+a^2 \\[4pt]&y=2ax-a^2
\end{align*}

(2) $a\neq0$ のとき,直線 $l’$ の方程式を求めよ。

ヒロ
ヒロ

(2)は「法線」と書かれていないが,法線の方程式を求める問題である。

【(2)の解答と考え方】
$a\neq0$ のとき,直線 $l’$ の傾きは $-\dfrac{1}{2a}$ となるから,直線 $l’$ の方程式は次のようになる。
\begin{align*}
&y=-\dfrac{1}{2a}(x-a)+a^2 \\[4pt]&y=-\dfrac{1}{2a}x+a^2-\dfrac{1}{2}
\end{align*}

2019年 東京薬科大

2019年 東京薬科大正の実数 $t$ に対し,放物線 $C:y=x^2$ 上に点P$(t,~t^2)$ をとり,Pにおける $C$ の法線 $l$ を考える。ただし,Pにおける法線とは,Pにおける $C$ の接線に垂直で,Pを通る直線のことである。以下の問に答えよ。
(1) $l$ の方程式は $y=\dfrac{\myhako}{\myhako\,t}x+t^2+\dfrac{\myhako}{\myhako}$ である。
(2) $l$ が再び $C$ と交わる点Qの $x$ 座標は,$\myhako\,t-\dfrac{\myhako}{\myhako\,t}$ である。
ヒロ
ヒロ

「法線」の説明が詳しく書かれているため,法線を何かを知らなくても解けるだろう。

【(1)の解答と考え方】
$y=x^2$ のとき,$y’=2x$ であるから,求める $l$ の方程式は
\begin{align*}
&y=-\dfrac{1}{2t}(x-t)+t^2 \\[4pt]
&y=\dfrac{-1}{2t}x+t^2+\dfrac{1}{2}
\end{align*}

(2) $l$ が再び $C$ と交わる点Qの $x$ 座標は,$\myhako\,t-\dfrac{\myhako}{\myhako\,t}$ である。

【(2)の解答と考え方】
$y=\dfrac{-1}{2t}x+t^2+\dfrac{1}{2}$, $y=x^2$ を連立して $y$ を消去すると
\begin{align*}
&x^2+\dfrac{1}{2t}x-t^2-\dfrac{1}{2}=0~\cdots\cdots① \\[4pt]
&(x-t)\left(x+t+\dfrac{1}{2t}\right)=0 \\[4pt]
&x=t,~-t-\dfrac{1}{2t}
\end{align*}
よって,求める点Qの $x$ 座標は $-t-\dfrac{1}{2t}$
ヒロ
ヒロ

方程式①を解くときに,真面目に因数分解を考えても良いが,$l$ も $C$ も点P($x$ 座標は $t$)を通ることを考えると,2つの解のうち1つは $x=t$ であることが分かる。

ヒロ
ヒロ

つまり,①の左辺は $x-t$ を因数にもつことが分かる。あとは,定数項に着目することで簡単に因数分解できるだろう。

ヒロ
ヒロ

また,空欄を埋めるだけの問題なので,解と係数の関係を利用するのもアリだろう。

【(2)の別の考え方と解答】
$x^2+\dfrac{1}{2t}x-t^2-\dfrac{1}{2}=0$ の2つの解を求めることを考える。1つは $x=t$ であり,求める $x$ 座標ではない。求める $x$ 座標はもう1つの解であり,$x=c$ とおくと,$x$ の係数に着目すると解と係数の関係より
\begin{align*}
&t+c=-\dfrac{2}{2t} \\[4pt]
&c=-t-\dfrac{1}{2t}
\end{align*}

2018年 久留米大

2018年 久留米大2次曲線 $y=x^2$ と円 $(x-a)^2+(y-b)^2=b^2$ がただ1つの共有点Pをもち($a,~b$ は実数で $a>0,~b>0$ とする),点Pと円の中心を通る直線の傾きが $-\dfrac{1}{6}$ であるとき,点Pの座標の数値は $(x,~y)=\myhako$ で,$b$ の値は $\myhako$ である。
【解答と考え方】
 この問題で扱っている円の方程式から,この円は $x$ 軸に接する円であることが分かる。この円と放物線 $y=x^2$ がただ1つの共有点Pをもつということは,点Pで接しているということである。言い換えると,点Pにおける放物線の接線と円の接線が一致するということである。
 また,円の接線は接点と円の中心を結ぶ直線と垂直であることを考えると,問題文で与えられている「点Pと円の中心を通る直線の傾きが $-\dfrac{1}{6}$ である」から接線の傾きが6であることが分かる。
 $y=x^2$ のとき,$y’=2x$ であるから接点の $x$ 座標を $t$ とすると
\begin{align*}
&2t=6 \\[4pt]&t=3
\end{align*}
よって,点Pの座標は $(3,~9)$ である。
 このとき,点Pにおける $y=x^2$ の法線の方程式は
\begin{align*}
&y=-\dfrac{1}{6}(x-3)+9
\end{align*}
この直線上に円の中心 $(a,~b)$ があるから
\begin{align*}
&b=-\dfrac{1}{6}(a-3)+9 \\[4pt]&a-3=-6(b-9)~\cdots\cdots①
\end{align*}
また,点Pと円の中心との距離が半径 $b$ に等しいから
\begin{align*}
&(a-3)^2+(b-9)^2=b^2~\cdots\cdots②
\end{align*}
①を②に代入すると
\begin{align*}
&36(b-9)^2+(b-9)^2=b^2 \\[4pt]&37(b-9)^2=b^2
\end{align*}
APの傾きが負であることから $b<9$ である。したがって
\begin{align*} &\sqrt{37}(b-9)=b \\[4pt] &b=\dfrac{9\sqrt{37}}{\sqrt{37}-1} \\[4pt] &b=\dfrac{\sqrt{37}(\sqrt{37}+1)}{4} \\[4pt] &b=\dfrac{37+\sqrt{37}}{4} \end{align*}
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