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2次方程式の解と式の値に関する問題【東洋大】
2020年 東洋大2次方程式 $2x^2-4x+3=0$ の2つの解を $\alpha,~\beta$ とするとき，以下の問いに答えよ。
(1) $\alpha+\beta=\myhako$, $\alpha\beta=\dfrac{\myhako}{\myhako}$ である。
(2) $\left(\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}\right)^2=-\dfrac{\myhako}{\myhako}$, $\alpha^3+\beta^3=-\myhako$ である。
(3) $\dfrac{\beta}{\alpha},~\dfrac{\alpha}{\beta}$ を2つの解とする2次方程式の1つは，$\myhako\,x^2-\myhako\,x+3=0$ である。
(1) $\alpha+\beta=\myhako$, $\alpha\beta=\dfrac{\myhako}{\myhako}$ である。
(2) $\left(\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}\right)^2=-\dfrac{\myhako}{\myhako}$, $\alpha^3+\beta^3=-\myhako$ である。
(3) $\dfrac{\beta}{\alpha},~\dfrac{\alpha}{\beta}$ を2つの解とする2次方程式の1つは，$\myhako\,x^2-\myhako\,x+3=0$ である。
【(1)の考え方と解答】
与えられた2次方程式を解いて2つの解を求めてから，その和と積を求めても答えは得られる。しかし，求めるものは2次方程式の2解の和と積であるから，解と係数の関係を利用した方が楽である。実際に解と係数の関係を利用すると
与えられた2次方程式を解いて2つの解を求めてから，その和と積を求めても答えは得られる。しかし，求めるものは2次方程式の2解の和と積であるから，解と係数の関係を利用した方が楽である。実際に解と係数の関係を利用すると
\begin{align*}
&\alpha+\beta=-\dfrac{-4}{2}=2 \\[4pt]
&\alpha\beta=\dfrac{3}{2}
\end{align*}
&\alpha+\beta=-\dfrac{-4}{2}=2 \\[4pt]
&\alpha\beta=\dfrac{3}{2}
\end{align*}
(2) $\left(\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}\right)^2=-\dfrac{\myhako}{\myhako}$, $\alpha^3+\beta^3=-\myhako$ である。
【(2)の考え方と解答】
$\alpha,~\beta$ に関する対称式だから，$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ で表せるはず。つまり(1)を利用することができる。
$\alpha,~\beta$ に関する対称式だから，$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ で表せるはず。つまり(1)を利用することができる。
\begin{align*}
\left(\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}\right)^2&=\dfrac{(\beta-\alpha)^2}{(\alpha\beta)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{2^2-4\Cdot\dfrac{3}{2}}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{16-24}{9}=-\dfrac{8}{9}
\end{align*}
同じようにして\left(\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}\right)^2&=\dfrac{(\beta-\alpha)^2}{(\alpha\beta)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{2^2-4\Cdot\dfrac{3}{2}}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{16-24}{9}=-\dfrac{8}{9}
\end{align*}
\begin{align*}
\alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta) \\[4pt]
&=2^3-3\Cdota\dfrac{3}{2}\Cdota2 \\[4pt]
&=-1
\end{align*}
\alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta) \\[4pt]
&=2^3-3\Cdota\dfrac{3}{2}\Cdota2 \\[4pt]
&=-1
\end{align*}
(3) $\dfrac{\beta}{\alpha},~\dfrac{\alpha}{\beta}$ を2つの解とする2次方程式の1つは，$\myhako\,x^2-\myhako\,x+3=0$ である。
【(3)の考え方と解答】
2解の和と積を求めて，2次方程式を作ろう。
2解の和と積を求めて，2次方程式を作ろう。
\begin{align*}
\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\beta}&=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta} \\[4pt]
&=\dfrac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta} \\[4pt]
&=\dfrac{2^2-2\Cdot\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3} \\[4pt]
\dfrac{\beta}{\alpha}\Cdota\dfrac{\alpha}{\beta}&=1
\end{align*}
よって $\dfrac{\beta}{\alpha},~\dfrac{\alpha}{\beta}$ を2つの解とする2次方程式は\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\beta}&=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta} \\[4pt]
&=\dfrac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta} \\[4pt]
&=\dfrac{2^2-2\Cdot\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3} \\[4pt]
\dfrac{\beta}{\alpha}\Cdota\dfrac{\alpha}{\beta}&=1
\end{align*}
\begin{align*}
&x^2-\dfrac{2}{3}x+1=0 \\[4pt]
&3x^2-2x+3=0
\end{align*}
&x^2-\dfrac{2}{3}x+1=0 \\[4pt]
&3x^2-2x+3=0
\end{align*}
2次方程式の解と係数に関する問題【東京農業大】
2020年 東京農業大2次方程式 $x^2+mx+36=0$ が整数の解のみをもつような定数 $m$ の値は全部で $\myhako$ 個あり，そのうち偶数の解のみをもつような $m$ の値は全部で $\myhako$ 個ある。
【考え方と解答】
$x^2+mx+36=0$ を解いて $x=\dfrac{-m\pm\sqrt{m^2-144}}{2}$ が整数となる $m$ の個数を考えても構わない。それは面倒だろうと思う場合は工夫して求められないかを考えよう。
今回はその工夫として解と係数の関係を利用する。$x^2+mx+36=0$ の2つの解を $\alpha,~\beta$ とすると
$x^2+mx+36=0$ を解いて $x=\dfrac{-m\pm\sqrt{m^2-144}}{2}$ が整数となる $m$ の個数を考えても構わない。それは面倒だろうと思う場合は工夫して求められないかを考えよう。
今回はその工夫として解と係数の関係を利用する。$x^2+mx+36=0$ の2つの解を $\alpha,~\beta$ とすると
\begin{align*}
\alpha+\beta=-m,~\alpha\beta=36
\end{align*}
となる。求めるものは $m$ の個数であり，それは $\alpha$ と $\beta$ の大小には関係ないから，$\alpha\leqq\beta$ として調べる組み合わせを少なくしよう。また，$\alpha,~\beta$ はともに正になるかともに負になるかのどちらかで，どちらも同じ組だけあるから，正の組だけを考えて2倍する。$\alpha,~\beta$ は36の約数であるから\alpha+\beta=-m,~\alpha\beta=36
\end{align*}
\begin{align*}
(\alpha,~\beta)=(1,~36),~(2,~18),~(3,~12),~(4,~9),~(6,~6)
\end{align*}
このとき，左から順に $m$ の値を求めると(\alpha,~\beta)=(1,~36),~(2,~18),~(3,~12),~(4,~9),~(6,~6)
\end{align*}
\begin{align*}
m=-37,~-20,~-15,~-13,~-12
\end{align*}
となる。よって，$m$ の個数は $5\times2=10$ 個である。また，偶数の解のみをもつような $m$ の値は $2\times2=4$ 個である。m=-37,~-20,~-15,~-13,~-12
\end{align*}