漸化式パターン3：$a_{n+1}=pa_n+qr^{n+k}$$~(p\neq1)$ 型の解法

漸化式パターン3の第三弾となります。パターン3は $f(n)$ の形に応じて，次の4つのタイプに分けることができます。

1次式
2次式
$n+k$ 乗 ( $k$ は整数) ← この記事ではこのタイプを解説
分数式

ここでは， $f(n)$ が $qr^{n+k}$ で表される漸化式の解法を説明します。
パターン3は，前回の2次式のタイプはほとんど出題されず，この $n$ 乗系のタイプと1次式のタイプでほぼ二分されます。どのような形で出題されたとしても解けるようにしましょう。

それでは，次の問題を考えましょう。

2011年摂南大数列

$\{a_n\}$ を，

$a_1=1,~a_{n+1}=3a_n+2\Cdot3^{n+1}$

$~(n=1,2,3,\cdots)$ で定義する。

$b_n=\dfrac{a_n}{3^n}$ とおくと，数列

$\{b_n\}$ は

$\begin{align*} b_1=\dfrac{\myhako}{\myhako},~b_{n+1}=\myhako~b_n+\myhako ~(n=1,2,3,\cdots) \end{align*}$

を満たすので，一般項は

$\myhako$ と表される。
したがって数列

$\{a_n\}$ の一般項は

$\myhako$ と表される。

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1 基本形に変形する
2 誘導がない場合
3 誘導がない場合その2
$a_{n+1}=pa_n+qr^{n+k}$ $~(p\neq1，k は整数)$ 型の漸化式の解法
5 漸化式パターン3の練習
6 練習問題の別解
7 練習問題の別解
8 まとめ

基本形に変形する

ヒロ

誘導通りにやっていこう。

初項は $n=1$ を代入するだけですね。

$b_1=\dfrac{a_1}{3}=\dfrac{1}{3}$

ヒロ

次は数列 $\{b_n\}$ の漸化式を求めよう。

$b_n=\dfrac{a_n}{3^n}$ とおくと，

$a_n=3^nb_n$ となるから，

$a_{n+1}=3^{n+1}b_{n+1}$ となる。したがって

$\begin{align*} &3^{n+1}b_{n+1}=3\Cdota3^nb_n+2\Cdota3^{n+1} \\[4pt] &3^{n+1}b_{n+1}=3^{n+1}b_n+2\Cdota3^{n+1} \\[4pt] &b_{n+1}=b_n+2 \end{align*}$

ヒロ

これで，数列 $b_n$ が公差2の等差数列だと分かったね。

センター試験と違って，1が入るのはちょっと戸惑いますね。

ヒロ

私大入試にはよくあることなので，これくらいで動揺しないようにしよう。あと，もし $b_n$ の係数が1でなければ，パターン2になるのでもう少し難しくなるよ。さぁ，一般項を求めよう。

$b_1=\dfrac{1}{3}$ だから，

$\begin{align*} &b_n=\dfrac{1}{3}+2(n-1) \\[4pt] &b_n=2n-\dfrac{5}{3} \end{align*}$

$a_n=3^nb_n$ より，

$\begin{align*} &a_n=3^n\left(2n-\dfrac{5}{3}\right) \\[4pt] &a_n=3^{n-1}(6n-5) \end{align*}$

誘導がない場合

ヒロ

$a_{n+1}=pa_n+qr^{n+k}$ ( $k$ は整数) の形の漸化式は，ことを覚えておこう。今回の問題では， $p=r$ なのでどちらの考えでも $3^{n+1}$ で割ることになる。

$a_{n+1}=3a_n+2\Cdot3^{n+1}$ の両辺を

$3^{n+1}$ で割ると

$\begin{align*} &\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{3a_n}{3^{n+1}}+\dfrac{2\Cdot3^{n+1}}{3^{n+1}} \\[4pt] &\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{3a_n}{3\Cdot3^n}+\dfrac{2\Cdot3^{n+1}}{3^{n+1}} \\[4pt] &\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{a_n}{3^n}+2 \end{align*}$

ヒロ

$3^{n+1}=3\Cdot3^n$ と考えて， $\dfrac{a_n}{3^n}$ と $\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}$ をうまく作ろう。

ヒロ

分母と分子の両方の $n$ が1つずれているからこそ， $\dfrac{a_n}{3^n}=b_n$ とおいたときに， $\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=b_{n+1}$ となって，うまくいくんだ。

誘導がない場合その2

ヒロ

もう1つの方法として，等比数列となるような置き換えをする方法がある。

与えられた漸化式が

$\begin{align*} a_{n+1}+\alpha(n+1)\Cdota3^{n+1}=3(a_n+\alpha n\Cdota3^n) \end{align*}$

と変形できたとすると

$\begin{align*} a_{n+1}&=3a_n+\{\alpha n-\alpha(n+1)\}\Cdota3^{n+1} \\[4pt] &=3a_n-\alpha\Cdota3^{n+1} \end{align*}$

元の漸化式と比較して，

$\alpha=-2$
よって，数列

$\{a_n-2n\Cdot3^n\}$ は公比3の等比数列である。

$a_1-2\Cdot3=-5$ より

$\begin{align*} &a_n-2n\Cdota3^n=-5\Cdota3^{n-1} \\[4pt] &a_n=2n\Cdota3^n-5\Cdota3^{n-1} \\[4pt] &a_n=(6n-5)\Cdota3^{n-1} \end{align*}$

$a_{n+1}=pa_n+qr^{n+k}$ $~(p\neq1，k は整数)$ 型の漸化式の解法

ヒロ

それでは解法をまとめておこう。

ヒロ

一般的に，漸化式パターン3の $f(n)$ が $n$ 乗系の漸化式の解法は次の手順に従おう。

解法1

両辺を $r^{n+1}$ で割る。
$\dfrac{a_n}{r^n}=b_n$ とおいて， $b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。
基本形かパターン2になるから，そのパターンを特定して解法を思い出す。
$b_n$ を求めて，一般項 $a_n=r^nb_n$ を求める。

解法2

両辺を $p^{n+1}$ で割る。
$\dfrac{a_n}{p^n}=b_n$ とおいて， $b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。
等差型か階差型になるから，その解法を思い出す。
$b_n$ を求めて，一般項 $a_n=p^nb_n$ を求める。

解法3(i)（

$p=r$ のとき）

数列 $\{a_n+\alpha nr^n\}$ が等比数列となる $\alpha$ を求める。
等比型になることを利用して，一般項 $a_n$ を求める。

解法3(ii)（

$p\neq r$ のとき）

数列 $\{a_n+\alpha r^n\}$ が等比数列となる $\alpha$ を求める。
等比型になることを利用して，一般項 $a_n$ を求める。

漸化式パターン3の練習

ヒロ

練習しておこう。

2016年大阪工業大数列

$\{a_n\}$ が

$a_1=2,~a_{n+1}=3a_n+2^n$

$~(n=1,2,3,\cdots)$ を満たすとき，

$a_2=\myhako$ ，

$a_3=\myhako$ である。また，漸化式を変形すると，

$a_{n+1}+2^{n+1}=3\left(a_n+\myhako\right)$ となることから，数列

$\{a_n\}$ の一般項は，

$a_n=\myhako$ である。

ヒロ

解説していくよ。

ヒロ

$a_2,a_3$ は漸化式の $n$ に $n=1,2$ を代入して順番に求めていくだけだね。

$a_2=3a_1+2=6+2=8$

$a_3=3a_2+2^2=24+4=28$

ヒロ

次は，漸化式を等比型に変形しているけど，空欄を埋めるだけなら，すぐに答えが分かるね。

ヒロ

左辺が $a_{n+1}+2^{n+1}$ となっていて，等比型に変形しているなら，右辺は $3(a_n+2^n)$ になるはず。これが正しいかどうかは展開・整理して元の漸化式に戻ることを確認すれば良いね。

$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+2^n)$ を変形すると

$\begin{align*} a_{n+1}&=3a_n+3\Cdota2^n-2^{n+1} \\[4pt] &=3a_n+3\Cdota2^n-2\Cdota2^n \\[4pt] &=3a_n+2^n \end{align*}$

確かに元の漸化式に戻るので，空欄は $2^n$ で正しいことが分かりますね。

ヒロ

一般項 $a_n$ を求めてしまおう。

数列

$\{a_n+2^n\}$ は公比3の等比数列であるから

$\begin{align*} &a_n+2^n=(a_1+2)\Cdota3^{n-1} \\[4pt] &a_n=4\Cdota3^{n-1}-2^n \end{align*}$

ヒロ

これは空欄を埋める問題で，左辺が既に書かれていたから，かなり簡単に解けてしまう。

ヒロ

穴埋め形式でなく，この解法を選択した場合は，次のように，数列 $\{a_n+\alpha\Cdot2^n\}$ が等比数列となるように $\alpha$ を求めることになる。

与えられた漸化式が

$\begin{align*} &a_{n+1}+\alpha\Cdota2^{n+1}=3(a_n+\alpha\Cdota2^n) \end{align*}$

変形できたとすると，

$\begin{align*} &a_{n+1}=3a_n+3\alpha\Cdota2^n-2\alpha\Cdota2^n \\[4pt] &a_{n+1}=3a_n+\alpha\Cdota2^n \end{align*}$

元の漸化式と比較して，

$\alpha=1$

ヒロ

このようにして，数列 $\{a_n+2^n\}$ が等比数列になることを導くことができる。

練習問題の別解

ヒロ

この問題が誘導なしで出題された場合，多くの人が選択する解法で解いておくよ。

与えられた漸化式の両辺を

$2^{n+1}$ で割ると

$\begin{align*} &\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{3a_n}{2^{n+1}}+\dfrac{2^n}{2^{n+1}} \\[4pt] &\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{3}{2}\Cdota\dfrac{a_n}{2^n}+\dfrac{1}{2} \end{align*}$

ここで

$\dfrac{a_n}{2^n}=b_n$ とおくと

$\begin{align*} &b_{n+1}=\dfrac{3}{2}b_n+\dfrac{1}{2} \end{align*}$

特性方程式

${\color{blue}x=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}}$ を解くと

$\begin{align*} &{\color{blue}2x=3x+1} \\[4pt] &{\color{blue}x=-1} \end{align*}$

よって

$\begin{align*} b_{n+1}+1=\dfrac{3}{2}(b_n+1) \end{align*}$

数列

$\{b_n+1\}$ は公比

$\dfrac{3}{2}$ の等比数列で，

$b_1=\dfrac{a_1}{2}=1$ だから

$\begin{align*} &b_n+1=(b_1+1)\Cdota\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1} \\[4pt] &b_n=2\Cdota\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1 \end{align*}$

$a_n=2^nb_n$ より

$\begin{align*} &a_n=2^n\left\{2\Cdota\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right\} \\[4pt] &a_n=4\Cdota3^{n-1}-2^n \end{align*}$

※青字の部分は，実際の解答用紙には書かなくて良い。

練習問題の別解

ヒロ

最後に階差型に変形する方法でも解いておくよ。

与えられた漸化式の両辺を

$3^{n+1}$ で割ると

$\begin{align*} &\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{3a_n}{3^{n+1}}+\dfrac{2^n}{3^{n+1}} \\[4pt] &\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{a_n}{3^n}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \end{align*}$

ここで

$\dfrac{a_n}{3^n}=b_n$ とおくと

$\begin{align*} &b_{n+1}=b_n+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \end{align*}$

$n\geqq2$ のとき

$\begin{align*} b_n&=b_1+\Sum{k=1}{n-1}\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^k \\[4pt] &=\dfrac{a_1}{3}+\dfrac{1}{3}\Cdota\dfrac{\dfrac{2}{3}\left\{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}}{1-\dfrac{2}{3}} \\[4pt] &=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}\left\{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\right\} \\[4pt] &=\dfrac{4}{3}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \end{align*}$

これは

$n=1$ のときも成り立つ。

$a_n=3^nb_n$ より

$\begin{align*} &a_n=3^n\left\{\dfrac{4}{3}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right\} \\[4pt] &a_n=4\Cdota3^{n-1}-2^n \end{align*}$