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【数学ⅡB】弧度法と度数法【京都薬科大】

弧度法と度数法数学IAIIB
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度数法を弧度法に変換

ヒロ
ヒロ

弧度法に慣れるために,まずは三角定規に現れる角度を弧度法で表す練習をしてみよう。

問題度数法で表された角を弧度法で表せ。
(1) $30\Deg$ (2) $45\Deg$ (3) $60\Deg$
【考え方と解答】
$180\Deg=\pi$(rad),つまり,$1\Deg=\dfrac{\pi}{180}$(rad)であることを利用しよう。
(1) $30\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{6}$
(2) $45\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}$
(3) $60\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}$
ヒロ
ヒロ

個人的には,度数法で表された角度を弧度法に変換するときに,このような真面目な計算はしておらず,半円を切る要領で弧度法に変換している。

【パイを切る感覚】
 半円の中心角は $\pi$(rad)であるから,次のような「半円形のパイ」を想像しよう。そして,このパイを切る要領で弧度法の感覚を掴もう。
パイとπ
 まず90°の角を作るためには,パイを半分に切れば良い。
パイを2等分 π/2
「パイを半分にする」のだから「$\pi$ を半分にする」,つまり90°は $\dfrac{\pi}{2}$ ということである。
 次に45°の角を弧度法で表してみよう。45°は90°の半分であることは簡単に分かるから,パイを4等分に切った1つ分の中心角が45°である。
パイを4等分 π/4
「パイを4等分する」のだから「$\pi$ を4で割る」,つまり45°は $\dfrac{\pi}{4}$ である。
 最後に60°を考える。60°は180°を3等分したものだと分かるから,パイを3等分しよう。
パイを3等分 π/3
「パイを3等分する」のだから「$\pi$ を3で割る」,つまり60°は $\dfrac{\pi}{3}$ となる。
ヒロ
ヒロ

このような感覚を身に付けて,さらに「倍数・約数の判定」を素早くできることで,それほど苦労せず度数法で表された様々な角度を弧度法に変換することができるようになるだろう。

【度数法を弧度法に変換する例】
 例えば,120°を弧度法で表したい場合,60°の2倍だから,パイを3等分した2つ分の角と分かる。つまり $\dfrac{2}{3}\pi$ である。135°の場合は,45°の3倍だから,パイを4等分した3つ分と考えて,$\dfrac{3}{4}\pi$ となる。
 また,300°のような角度でも,60°の5倍だから $\dfrac{5}{3}\pi$ と分かる。360°に近い場合は「引き算」を利用する人もいるだろう。315°の場合は360°から45°を引けば良いから
\begin{align*}
2\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7}{4}\pi
\end{align*}
となる。
 三角定規に現れないような角度の例も挙げておこう。例えば36°の場合は,「180を5で割ると36になる」ことを常識にすることで $\dfrac{\pi}{5}$ だと分かる。108°の場合は,$36\Deg\times3=108\Deg$ であるから $\dfrac{3}{5}\pi$ とすることもできる。
 色々書いたが,結局は「『度数法で与えられた角度が180の何倍か?』という割合を瞬時に求められるかどうか」で,すべてが決まると言って良いだろう。つまり,小学校で学ぶ「割合」の理解度が大きく関わっている。割合が苦手な人はこのような計算だけでなく,図形分野における辺の長さや面積・体積などが何倍かという計算をするときにも,いちいち比の式を立ててからでないと計算できないということになってしまうだろう。「割合」は様々な分野に関わっているため,苦手意識がある人はもう一度しっかり学び,理解し,使いこなせるようにするべきである。

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