ここでは様々な確率の問題を解説します。
確率の定義と場合の数を求める考え方の基本が分かっていれば，それほど苦労しないでしょう。
トランプに関する確率
問題ジョーカーを除く1組のトランプ52枚から1枚を選ぶとき，次の確率を求めよ。
(1) ハートが出る
(2) スペードのA（エース）が出る
(1) ハートが出る
(2) スペードのA（エース）が出る
【(1)の考え方と解答】
トランプ1枚の選び方は全部で52通りある。ハートは13枚あるからハートを選ぶ方法は13通りある。
したがって，求める確率は
トランプ1枚の選び方は全部で52通りある。ハートは13枚あるからハートを選ぶ方法は13通りある。
したがって，求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}
\end{align*}
\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}
\end{align*}
(2) スペードのA（エース）が出る
【(2)の考え方と解答】
スペードのAは1枚しかないから，そのトランプを選ぶ方法は1通りである。
したがって，求める確率は
スペードのAは1枚しかないから，そのトランプを選ぶ方法は1通りである。
したがって，求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{52}
\end{align*}
\dfrac{1}{52}
\end{align*}
コインを投げるときの確率
問題コイン4枚投げるとき，2枚表が出る確率を求めよ。
【考え方と解答】
コイン4枚を投げたとき，表と裏の出方は全部で $2^4$ 通りある。
4枚のうち表が出る2枚の選び方は $\nCk{4}{2}$ 通りある。
したがって，求める確率は
コイン4枚を投げたとき，表と裏の出方は全部で $2^4$ 通りある。
4枚のうち表が出る2枚の選び方は $\nCk{4}{2}$ 通りある。
したがって，求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{\nCk{4}{2}}{2^4}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}
\end{align*}
\dfrac{\nCk{4}{2}}{2^4}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}
\end{align*}
玉を取り出す確率
問題白玉6個と赤玉4個が入った袋から，玉を4個同時に取り出すとき，次の確率を求めよ。
(1) 白玉3個と赤玉1個が出る確率
(2) 4個すべてが白玉である確率
(1) 白玉3個と赤玉1個が出る確率
(2) 4個すべてが白玉である確率
【(1)の考え方と解答】
合計10個の玉が入った袋から4個の玉を取り出す方法は全部で
合計10個の玉が入った袋から4個の玉を取り出す方法は全部で
\begin{align*}
\nCk{10}{4}~通り
\end{align*}
ある。白玉3個と赤玉1個を取り出すのは，白玉6個から3個取り出し，赤玉4個から1個取り出すときだからその方法は\nCk{10}{4}~通り
\end{align*}
\begin{align*}
\nCk{6}{3}\Cdota4~通り
\end{align*}
したがって，求める確率は\nCk{6}{3}\Cdota4~通り
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{\nCk{6}{3}\Cdot4}{\nCk{10}{4}}&=\dfrac{20\Cdot4}{210} \\[4pt]
&=\dfrac{8}{21}
\end{align*}
\dfrac{\nCk{6}{3}\Cdot4}{\nCk{10}{4}}&=\dfrac{20\Cdot4}{210} \\[4pt]
&=\dfrac{8}{21}
\end{align*}
(2) 4個すべてが白玉である確率
【(2)の考え方と解答】
4個すべてが白玉であるのは，白玉6個から4個取り出すときだから，求める確率は
4個すべてが白玉であるのは，白玉6個から4個取り出すときだから，求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{\nCk{6}{4}}{\nCk{10}{4}}&=\dfrac{\nCk{6}{2}}{210} \\[4pt]
&=\dfrac{15}{210}=\dfrac{1}{14}
\end{align*}
\dfrac{\nCk{6}{4}}{\nCk{10}{4}}&=\dfrac{\nCk{6}{2}}{210} \\[4pt]
&=\dfrac{15}{210}=\dfrac{1}{14}
\end{align*}
余事象・排反事象の確率
問題A, B, Cの3人が射撃で的に当てる確率はそれぞれ $\dfrac{1}{3},~\dfrac{2}{5},~\dfrac{5}{8}$ である。3人が1回ずつ射撃を行うとき，次の確率を求めよ。
(1) 1人だけが的に当てる
(2) 少なくとも1人が的に当てる
(1) 1人だけが的に当てる
(2) 少なくとも1人が的に当てる
【(1)の考え方と解答】
1人だけが的に当てるとき，その1人はAのときとBのときとCのときの3パターンが考えられる。
(i) Aだけが的に当てるとき
B, Cは外れるから，その確率は
A, Cは外れるから，その確率は
A, Bは外れるから，その確率は
1人だけが的に当てるとき，その1人はAのときとBのときとCのときの3パターンが考えられる。
(i) Aだけが的に当てるとき
B, Cは外れるから，その確率は
\begin{align*}
&\dfrac{1}{3}\Cdota\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\Cdota\left(1-\dfrac{5}{8}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3}\Cdota\dfrac{3}{5}\Cdota\dfrac{3}{8} \\[4pt]
&=\dfrac{9}{120}=\dfrac{3}{40}
\end{align*}
(ii) Bだけが的に当てるとき&\dfrac{1}{3}\Cdota\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\Cdota\left(1-\dfrac{5}{8}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3}\Cdota\dfrac{3}{5}\Cdota\dfrac{3}{8} \\[4pt]
&=\dfrac{9}{120}=\dfrac{3}{40}
\end{align*}
A, Cは外れるから，その確率は
\begin{align*}
&\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\Cdota\dfrac{2}{5}\Cdota\left(1-\dfrac{5}{8}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}\Cdota\dfrac{2}{5}\Cdota\dfrac{3}{8} \\[4pt]
&=\dfrac{12}{120}=\dfrac{4}{40}
\end{align*}
(iii) Cだけが的に当てるとき&\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\Cdota\dfrac{2}{5}\Cdota\left(1-\dfrac{5}{8}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}\Cdota\dfrac{2}{5}\Cdota\dfrac{3}{8} \\[4pt]
&=\dfrac{12}{120}=\dfrac{4}{40}
\end{align*}
A, Bは外れるから，その確率は
\begin{align*}
&\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\Cdota\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\Cdota\dfrac{5}{8} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}\Cdota\dfrac{3}{5}\Cdota\dfrac{5}{8} \\[4pt]
&=\dfrac{30}{120}=\dfrac{10}{40}
\end{align*}
(i)～(iii)は排反事象であるから，求める確率は&\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\Cdota\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\Cdota\dfrac{5}{8} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}\Cdota\dfrac{3}{5}\Cdota\dfrac{5}{8} \\[4pt]
&=\dfrac{30}{120}=\dfrac{10}{40}
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{3}{40}+\dfrac{4}{40}+\dfrac{10}{40}=\dfrac{17}{40}
\end{align*}
\dfrac{3}{40}+\dfrac{4}{40}+\dfrac{10}{40}=\dfrac{17}{40}
\end{align*}
ヒロ
それぞれの確率を計算するときは，最初から約分しない方が良い。
ヒロ
まだ求めていない確率を求めたときに分母が違うと通分する手間が増えるから。
ヒロ
上の計算では，3つの場合すべてで分母を40にすることができることを確認してから約分した値を追記している。
【(2)の考え方と解答】
A, B, Cの3人のうち少なくとも1人が的に当てるパターンをすべて考えると結構面倒だと分かる。「少なくとも」を見たら余事象を考えてみるのが良い。今回の場合は，1人も的に当たらない確率を全体の1から引けば良いことが分かる。
3人とも的を外す確率は
A, B, Cの3人のうち少なくとも1人が的に当てるパターンをすべて考えると結構面倒だと分かる。「少なくとも」を見たら余事象を考えてみるのが良い。今回の場合は，1人も的に当たらない確率を全体の1から引けば良いことが分かる。
3人とも的を外す確率は
\begin{align*}
&\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\Cdota\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\Cdota\left(1-\dfrac{5}{8}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}\Cdota\dfrac{3}{5}\Cdota\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{20}
\end{align*}
したがって，求める確率は&\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\Cdota\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\Cdota\left(1-\dfrac{5}{8}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}\Cdota\dfrac{3}{5}\Cdota\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{20}
\end{align*}
\begin{align*}
1-\dfrac{3}{20}=\dfrac{17}{20}
\end{align*}
1-\dfrac{3}{20}=\dfrac{17}{20}
\end{align*}
人を並べるときの確率
問題男子5人と女子4人がくじ引きで1列に並ぶとき，次の確率を求めよ。
(1) 女子4人が続いて並ぶ確率
(2) 男女が交互に並ぶ確率
(1) 女子4人が続いて並ぶ確率
(2) 男女が交互に並ぶ確率
【(1)の考え方と解答】
男女合わせて9人を1列に並べる方法は $9!$ 通り。
女子4人が続いて並ぶから女子4人を1つのカタマリ（Aとする）と考えると，条件をみたす並べ方は次の手順でできる。
① 男子5人とAの6人を1列に並べる。
② Aの中の女子4人を1列に並べる。
①の方法は $6!$ 通りあり，②の方法は $4!$ 通りあるから，条件をみたす並べ方は
男女合わせて9人を1列に並べる方法は $9!$ 通り。
女子4人が続いて並ぶから女子4人を1つのカタマリ（Aとする）と考えると，条件をみたす並べ方は次の手順でできる。
① 男子5人とAの6人を1列に並べる。
② Aの中の女子4人を1列に並べる。
①の方法は $6!$ 通りあり，②の方法は $4!$ 通りあるから，条件をみたす並べ方は
\begin{align*}
6!\Cdota4!~通り
\end{align*}
したがって，求める確率は6!\Cdota4!~通り
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{6!\Cdot4!}{9!}&=\dfrac{4\Cdot3\Cdot2\Cdot1}{9\Cdot8\Cdot7} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{21}
\end{align*}
\dfrac{6!\Cdot4!}{9!}&=\dfrac{4\Cdot3\Cdot2\Cdot1}{9\Cdot8\Cdot7} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{21}
\end{align*}
(2) 男女が交互に並ぶ確率
【(2)の考え方と解答】
男女が交互に並べる方法は次の手順でできる。
① 男子5人を並べる。
② 女子4人を並べる。
③ 男子と女子が交互になるように，男子の間に女子を並べる。
①の方法は $5!$ 通りあり，②の方法は $4!$ 通りある。男子が女子より1人多いから，男子が両端になることを考えると，③の方法は1通りのみである。
したがって，条件をみたす並べ方は
男女が交互に並べる方法は次の手順でできる。
① 男子5人を並べる。
② 女子4人を並べる。
③ 男子と女子が交互になるように，男子の間に女子を並べる。
①の方法は $5!$ 通りあり，②の方法は $4!$ 通りある。男子が女子より1人多いから，男子が両端になることを考えると，③の方法は1通りのみである。
したがって，条件をみたす並べ方は
\begin{align*}
5!\Cdota4!~通り
\end{align*}
したがって，求める確率は5!\Cdota4!~通り
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{5!\Cdot4!}{9!}&=\dfrac{4\Cdot3\Cdot2\Cdot1}{9\Cdot8\Cdot7\Cdot6} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{126}
\end{align*}
\dfrac{5!\Cdot4!}{9!}&=\dfrac{4\Cdot3\Cdot2\Cdot1}{9\Cdot8\Cdot7\Cdot6} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{126}
\end{align*}