【数学ⅡB】三角関数を含む方程式の解の個数【福岡大・東洋大・国士舘大】

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2018年東洋大

$0\leqq\theta<2\pi$ のとき，

$\cos^4\theta=\sin^4\theta$ を満たす

$\theta$ は

$\myhako$ 個ある。

【考え方と解答】
因数分解して解を求める方法で解の個数を調べよう。
与えられた方程式より

$\begin{align*} &\sin^4\theta-\cos^4\theta=0 \\[4pt] &(\sin^2\theta+\cos^2\theta)(\sin^2\theta-\cos^2\theta)=0 \\[4pt] &(\sin\theta+\cos\theta)(\sin\theta-\cos\theta)=0 \\[4pt] &\sin\theta=\pm\cos\theta \end{align*}$

$\sin\theta=Y$ ，

$\cos\theta=X$ とおくと，

$(X,~Y)$ は直線

$Y=\pm X$ と円

$X^2+Y^2=1$ の共有点である。

よって，条件を満たす

$(X,~Y)$ は上図の4点存在するから，

$\theta$ は4個ある。

2016年国士舘大

$a$ を定数とする。

$x$ に関する方程式

$\begin{align*} \sin^2x+\dfrac{1}{2}\abs{\cos x}+a-\dfrac{9}{8}=0 \end{align*}$

について，次の問に答えよ。ただし，

$0\leqq x<2\pi$ とする。
(1) この方程式が少なくとも1つの解をもつような定数

$a$ の値の範囲は

$\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イウ}}\leqq a\leqq\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}$ である。
(2) この方程式がちょうど8個の解をもつような定数

$a$ の値の範囲は

$\dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キク}}<a<\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}}$ である。
(3) この方程式がちょうど6個の解をもつような定数

$a$ の値は

$a=\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$ である。

【(1)の考え方と解答】

$\cos x=t$ とおくと，

$0\leqq x<2\pi$ のとき，

$-1\leqq t\leqq1$ である。
与えられた方程式を①とすると，

$\begin{align*} &(1-t^2)+\dfrac{1}{2}\abs{t}+a-\dfrac{9}{8}=0 \\[4pt] &a=t^2-\dfrac{1}{2}\abs{t}+\dfrac{1}{8} \end{align*}$

$f(t)=t^2-\dfrac{1}{2}\abs{t}+\dfrac{1}{8}$ とおく。

$t-1\leqq t\leqq0$ のとき

$\begin{align*} f(t)&=t^2+\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{8} \\[4pt] &=\left(t+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{1}{16} \end{align*}$

$0\leqq t\leqq1$ のとき

$\begin{align*} f(t)&=t^2-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{8} \\[4pt] &=\left(t-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{1}{16} \end{align*}$

方程式①が少なくとも1つの解をもつのは，

$y=f(t)$ のグラフと

$y=a$ のグラフが

$-1\leqq t\leqq1$ の範囲で共有点をもつときである。

グラフより，求める

$a$ の値の範囲は

$\dfrac{1}{16}\leqq a\leqq\dfrac{5}{8}$

(2) この方程式がちょうど8個の解をもつような定数 $a$ の値の範囲は $\dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キク}}<a<\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}}$ である。

【(2)の考え方と解答】

$\cos x=t~(0\leqq x<2\pi)$ の解

$x$ の個数は次のようになっている。
　

$-1<t<1$ のとき，

$x$ は2個
　

$t=-1,~1$ のとき，

$x$ は1個
　

$t<-1,~1<t$ のとき，

$x$ はない

$y=f(t)$ のグラフと

$y=a$ のグラフの共有点の個数を

$k$ とすると，

$k=0,~2,~3,~4$ のいずれかであるから，方程式①がちょうど8個の解をもつのは，

$k=4$ のときである。
　したがって，求める

$a$ の値の範囲は

$\dfrac{1}{16}<a<\dfrac{1}{8}$

(3) この方程式がちょうど6個の解をもつような定数 $a$ の値は $a=\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$ である。

【(3)の考え方と解答】
　方程式①がちょうど6個の解をもつのは，

$k=3$ のときであるから，グラフより求める

$a$ の値は

$a=\dfrac{1}{8}$

2018年 東洋大

2016年 国士舘大

2018年東洋大

2016年国士舘大