Contents
不定方程式の自然数解の個数を求める問題
2018年 明治薬科大方程式 $2x+3y=40$ の解 $(x,~y)$ で，$x$ と $y$ がともに自然数であるものは $\myhako$ 個ある。
【考え方と解答】
$2x+3y=40$ より
$2x+3y=40$ より
\begin{align*}
x&=\dfrac{-3y+40}{2} \\[4pt]
&=-2y+20+\dfrac{y}{2}
\end{align*}
$x,~y$ は整数であるから，$\dfrac{y}{2}$ は整数であり，$\dfrac{y}{2}=k$ とおくと，$y=2k$ となる。このときx&=\dfrac{-3y+40}{2} \\[4pt]
&=-2y+20+\dfrac{y}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
x&=-2\Cdota2k+20+k \\[4pt]
&=-3k+20
\end{align*}
$x,~y$ がともに自然数であるときx&=-2\Cdota2k+20+k \\[4pt]
&=-3k+20
\end{align*}
\begin{align*}
&-3k+20\geqq1~かつ~2k\geqq1 \\[4pt]
&\dfrac{1}{2}\leqq k\leqq\dfrac{19}{3}
\end{align*}
$k$ は整数であるから，&-3k+20\geqq1~かつ~2k\geqq1 \\[4pt]
&\dfrac{1}{2}\leqq k\leqq\dfrac{19}{3}
\end{align*}
\begin{align*}
k=1,~2,~\cdots,~6
\end{align*}
よって，求める個数は6である。k=1,~2,~\cdots,~6
\end{align*}