【2018年筑波大】三角関数の分数式の最大最小問題の3通りの解法

2018年に筑波大で出題された三角関数の分数式の最大最小問題の3通りの解法について説明します。

色々な解法を考えることで，複数の単元の知識がリンクされるため，数学力の底上げにつながります。

2018年筑波大$-\dfrac{2\pi}{3}\leqq\theta\leqq\dfrac{2\pi}{3}$ のとき，次式で示される $y$ の最大値および最小値を求めなさい。

\begin{align*}
y=\dfrac{1+\sin\theta}{1+\cos\theta}
\end{align*}

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Contents

1 微分を用いる解法
2 図形的意味を考える解法
3 変数を変換する解法
4 まとめ

微分を用いる解法

ヒロ

数学IIIの三角関数の微分法と分数関数の微分法を学習済みなら，この解法で解くことができる。

$y=\dfrac{1+\sin\theta}{1+\cos\theta}$ より

\begin{align*}
y’&=\dfrac{\cos\theta(1+\cos\theta)-(1+\sin\theta)\Cdot(-\sin\theta)}{(1+\cos\theta)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{1+\sin\theta+\cos\theta}{(1+\cos\theta)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{1+\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)}{(1+\cos\theta)^2}
\end{align*}

$y’=0$ とすると

\begin{align*}
&\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}

$-\dfrac{2\pi}{3}\leqq\theta\leqq\dfrac{2\pi}{3}$ より，

\begin{align*}
&\theta+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4} \\[4pt]
&\theta=-\dfrac{\pi}{2}
\end{align*}

よって，$y$ の増減は次のようになる。

\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
\theta & -\dfrac{2\pi}{3} & \cdots & -\dfrac{\pi}{2} & \cdots & \dfrac{2\pi}{3} \\\hline
y’ & & – & 0 & + & \\\hline
y & 2-\sqrt{3} & \searrow & 0 & \nearrow & 2+\sqrt{3} \\\hline
\end{array}
\end{align*}

したがって，求める最大値と最小値は次のようになる。

\begin{align*}
&最大値~~2+\sqrt{3}~\left(\theta=\dfrac{2\pi}{3}~のとき\right) \\[4pt]
&最小値~~0~(\theta=0~のとき)
\end{align*}

図形的意味を考える解法

ヒロ

三角関数の定義と分数式の図形的意味を考えよう。

ヒロ

$\cos\theta$ と $\sin\theta$ はそれぞれ原点を中心とする単位円周上の点の $x$ 座標と $y$ 座標を表している。

ヒロ

また，分数式を傾きとして捉えることで，単位円と直線の傾きの関係として考えることができるね。

$y=\dfrac{\sin\theta-(-1)}{\cos\theta-(-1)}$ であるから，$y$ は2点 $\mathrm{P}(\cos\theta,~\sin\theta)$, $\mathrm{A}(-1,~-1)$ を通る直線の傾きを表す。$-\dfrac{2\pi}{3}\leqq\theta\leqq\dfrac{2\pi}{3}$ より，点Pは原点を中心とする単位円周上の $x\geqq-\dfrac{1}{2}$ の部分（図の赤線部分）を動く。

図より，$y$ は $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき最大となり，$\theta=-\dfrac{\pi}{2}$ のとき最小となる。
$\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき

\begin{align*}
y&=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}-(-1)}{-\dfrac{1}{2}-(-1)}=2+\sqrt3
\end{align*}

$\theta=-\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$y=-1$

変数を変換する解法

ヒロ

三角関数の分数式を積分するときと同様に，$\tan\dfrac{\theta}{2}=t$ とおいてみよう。

ヒロ

変数変換した場合は，新しい変数の取り得る値の範囲に注意しよう。

$\tan\dfrac{\theta}{2}=t$ とおくと，$-\dfrac{2\pi}{3}\leqq\theta\leqq\dfrac{2\pi}{3}$ より，

\begin{align*}
-\sqrt3\leqq t\leqq\sqrt3
\end{align*}

となる。また，このとき

\begin{align*}
&\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2} \\[4pt]
&\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}
\end{align*}

となるから，

\begin{align*}
y&=\dfrac{1+\dfrac{2t}{1+t^2}}{1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}} \\[4pt]
&=\dfrac{(1+t^2)+2t}{(1+t^2)+(1-t^2)} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}(t+1)^2
\end{align*}