ここでは数学的帰納法を利用する証明問題について説明します。
大学入試で出題される数学的帰納法の問題には，等式だけでなく，不等式や漸化式など様々な形式があります。
様々な問題を解くことで数学的帰納法の証明に慣れましょう。
2020年 お茶の水女子大
2020年 お茶の水女子大$n\geqq3$ のとき，不等式 $2^{n-1}>n$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
【解答と考え方】
$2^{n-1}>n~\cdots\cdots①$ とする。
(i) $n=3$ のとき
(ii) $n=k$ のとき，①が成り立つと仮定すると $2^{k-1}>k$ が成り立つ。
このとき
(i)，(ii)より，$n\geqq3$ のとき，$2^{n-1}>n$ が成り立つ。
$2^{n-1}>n~\cdots\cdots①$ とする。
(i) $n=3$ のとき
\begin{align*}
(①の左辺)=2^2=4,~(①の右辺)=2
\end{align*}
となるから①は成り立つ。(①の左辺)=2^2=4,~(①の右辺)=2
\end{align*}
(ii) $n=k$ のとき，①が成り立つと仮定すると $2^{k-1}>k$ が成り立つ。
このとき
\begin{align*}
2^k-(k+1)&=2\Cdota2^{k-1}-(k+1) \\[4pt]
&>2k-(k+1)=k-1>0
\end{align*}
となるから $n=k+1$ のときも①が成り立つ。2^k-(k+1)&=2\Cdota2^{k-1}-(k+1) \\[4pt]
&>2k-(k+1)=k-1>0
\end{align*}
(i)，(ii)より，$n\geqq3$ のとき，$2^{n-1}>n$ が成り立つ。
2021年 広島市立大
2021年 広島市立大$a_1=1$，$a_{n+1}=(n+1)!+na_n$（$n=1,~2,~3,~\cdots$）で表される数列 $\{a_n\}$ を考える。
(1) $a_2,~a_3,~a_4,~a_5$ を求めよ。
(2) 一般項 $a_n$ を推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
(1) $a_2,~a_3,~a_4,~a_5$ を求めよ。
(2) 一般項 $a_n$ を推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
【(1)の解答と考え方】
\begin{align*}
a_2&=2!+a_1=2+1=3 \\[4pt]
a_3&=3!+2a_2=6+2\Cdota3=12 \\[4pt]
a_4&=4!+3a_3=24+3\Cdota12=60 \\[4pt]
a_5&=5!+4a_4=120+4\Cdota60=360
\end{align*}
a_2&=2!+a_1=2+1=3 \\[4pt]
a_3&=3!+2a_2=6+2\Cdota3=12 \\[4pt]
a_4&=4!+3a_3=24+3\Cdota12=60 \\[4pt]
a_5&=5!+4a_4=120+4\Cdota60=360
\end{align*}
(2) 一般項 $a_n$ を推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
【(2)の解答と考え方】
(1)で求めた $a_1,~\cdots,~a_5$ の値を並べると
これを数学的帰納法で証明する。
(i) $n=1,~2,~3,~4,~5$ のときは明らかに成り立つ。
(ii) $n=k$ のときに成り立つと仮定すると，$a_k=\dfrac{(k+1)!}{2}$ が成り立つ。
このとき
(i)，(ii)より，すべての自然数 $n$ に対して，$a_n=\dfrac{(k+1)!}{2}$ が成り立つ。
(1)で求めた $a_1,~\cdots,~a_5$ の値を並べると
\begin{align*}
1,~3,~12,~60,~360
\end{align*}
となっている。初項に3を掛けると第2項になり，さらに4を掛けると第3項になっていることが分かる。その規則は第5項まで成り立つことが確認できる。このことを考えて書き方を変えると次のようになる。1,~3,~12,~60,~360
\end{align*}
\begin{align*}
&a_1=1,~a_2=1\Cdota3,~a_3=1\Cdota3\Cdota4 \\[4pt]
&a_4=1\Cdota3\Cdota4\Cdota5,~a_5=1\Cdota3\Cdota4\Cdota5\Cdota6
\end{align*}
2を入れると階乗で表せることに気付けば，次のように表せる。&a_1=1,~a_2=1\Cdota3,~a_3=1\Cdota3\Cdota4 \\[4pt]
&a_4=1\Cdota3\Cdota4\Cdota5,~a_5=1\Cdota3\Cdota4\Cdota5\Cdota6
\end{align*}
\begin{align*}
&a_1=\dfrac{2!}{2},~a_2=\dfrac{3!}{2},~a_3=\dfrac{4!}{2} \\[4pt]
&a_4=\dfrac{5!}{2},~a_5=\dfrac{6!}{2}
\end{align*}
このことから，$a_n=\dfrac{(n+1)!}{2}$ と推測できる。&a_1=\dfrac{2!}{2},~a_2=\dfrac{3!}{2},~a_3=\dfrac{4!}{2} \\[4pt]
&a_4=\dfrac{5!}{2},~a_5=\dfrac{6!}{2}
\end{align*}
これを数学的帰納法で証明する。
(i) $n=1,~2,~3,~4,~5$ のときは明らかに成り立つ。
(ii) $n=k$ のときに成り立つと仮定すると，$a_k=\dfrac{(k+1)!}{2}$ が成り立つ。
このとき
\begin{align*}
a_{k+1}&=(k+1)!+ka_k \\[4pt]
&=(k+1)!+k\Cdota\dfrac{(k+1)!}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{(k+1)!}{2}\left(2+k\right) \\[4pt]
&=\dfrac{(k+2)!}{2}
\end{align*}
となるから，$n=k+1$ のときも成り立つ。a_{k+1}&=(k+1)!+ka_k \\[4pt]
&=(k+1)!+k\Cdota\dfrac{(k+1)!}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{(k+1)!}{2}\left(2+k\right) \\[4pt]
&=\dfrac{(k+2)!}{2}
\end{align*}
(i)，(ii)より，すべての自然数 $n$ に対して，$a_n=\dfrac{(k+1)!}{2}$ が成り立つ。
2021年 会津大
2021年 会津大$\theta$ をすべての自然数 $n$ に対して $\cos\theta\neq0$ をみたす定数とする。数列 $\{a_n\}$ を次で定義する。
\begin{align*}
a_1=-\tan\theta,~a_{n+1}=\dfrac{a_n\cos\theta-\sin\theta}{a_n\sin\theta+\cos\theta}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}
このとき，すべての自然数 $n$ に対してa_1=-\tan\theta,~a_{n+1}=\dfrac{a_n\cos\theta-\sin\theta}{a_n\sin\theta+\cos\theta}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}
\begin{align*}
a_n=-\tan n\theta
\end{align*}
がなりたつことを，数学的帰納法を用いて証明せよ。a_n=-\tan n\theta
\end{align*}
【解答と考え方】
$a_1=-\tan\theta$ より，$n=1$ のときに成り立つ。
$a_k=-\tan k\theta$ が成り立つと仮定すると
よって，すべての自然数 $n$ に対して $a_n=-\tan n\theta$ が成り立つ。
$a_1=-\tan\theta$ より，$n=1$ のときに成り立つ。
$a_k=-\tan k\theta$ が成り立つと仮定すると
\begin{align*}
a_{k+1}&=\dfrac{a_n\cos\theta-\sin\theta}{a_n\sin\theta+\cos\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{-\tan k\theta\cos\theta-\sin\theta}{-\tan k\theta\sin\theta+\cos\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta}{\sin k\theta\sin\theta-\cos k\theta\cos\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{\sin(k+1)\theta}{-\cos(k+1)\theta} \\[4pt]
&=-\tan(k+1)\theta
\end{align*}
となり，$n=k+1$ のときも成り立つ。a_{k+1}&=\dfrac{a_n\cos\theta-\sin\theta}{a_n\sin\theta+\cos\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{-\tan k\theta\cos\theta-\sin\theta}{-\tan k\theta\sin\theta+\cos\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta}{\sin k\theta\sin\theta-\cos k\theta\cos\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{\sin(k+1)\theta}{-\cos(k+1)\theta} \\[4pt]
&=-\tan(k+1)\theta
\end{align*}
よって，すべての自然数 $n$ に対して $a_n=-\tan n\theta$ が成り立つ。