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2つの円の交点を通る直線【武蔵大】
2019年 武蔵大2つの円 $A,~B$ を以下のように定義する。
\begin{align*}
&A:(x+2)^2+(y-2)^2=9 \\[4pt]
&B:x^2+y^2=4
\end{align*}
円 $A$ と円 $B$ の2つの交点を通る直線の方程式は&A:(x+2)^2+(y-2)^2=9 \\[4pt]
&B:x^2+y^2=4
\end{align*}
\begin{align*}
y=x+\dfrac{\myhako}{\myhako}
\end{align*}
である。y=x+\dfrac{\myhako}{\myhako}
\end{align*}
【考え方と解答】
2つの円の方程式の差を計算して
2つの円の方程式の差を計算して
\begin{align*}
&(x+2)^2-x^2+(y-2)^2-y^2=9-4 \\[4pt]
&2(2x+2)-2(2y-2)=5 \\[4pt]
&4x-4y+8=5 \\[4pt]
&y=x+\dfrac{3}{4}
\end{align*}
&(x+2)^2-x^2+(y-2)^2-y^2=9-4 \\[4pt]
&2(2x+2)-2(2y-2)=5 \\[4pt]
&4x-4y+8=5 \\[4pt]
&y=x+\dfrac{3}{4}
\end{align*}
ヒロ
上の計算で出てくる「2乗の差」は「$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$」を利用して計算している。
ヒロ
展開して計算するより速く，間違いにくいのでマスターしよう。
2つの円の交点を通る直線に関する問題【兵庫医科大】
2010年 兵庫医科大円 $C_1:x^2+y^2=9$ と円 $C_2:(x-a)^2+(y-b)^2=25$ の2つの共有点を通る直線の方程式が $2x+y+1=0$ となるとき，$a>0$ とすれば，$a+b$ の値は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
2つの円の方程式の差を計算して
したがって，
2つの円の方程式の差を計算して
\begin{align*}
&x^2-(x-a)^2+y^2-(y-b)^2=9-25 \\[4pt]&a(2x-a)+b(2y-b)=-16 \\[4pt]&2ax+2by-a^2-b^2+16=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
直線①が直線 $2x+y+1=0$ と一致するときは&x^2-(x-a)^2+y^2-(y-b)^2=9-25 \\[4pt]&a(2x-a)+b(2y-b)=-16 \\[4pt]&2ax+2by-a^2-b^2+16=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
2a:2b:(-a^2-b^2+16)=2:1:1
\end{align*}
が成り立つときである。これより2a:2b:(-a^2-b^2+16)=2:1:1
\end{align*}
\begin{align*}
a=2b=-a^2-b^2+16
\end{align*}
となる。$a=2b$ を $2b=-a^2-b^2+16$ に代入するとa=2b=-a^2-b^2+16
\end{align*}
\begin{align*}
&2b=-4b^2-b^2+16 \\[4pt]&5b^2+2b-16=0 \\[4pt]&(b+2)(5b-8)=0 \\[4pt]&b=-2,~\dfrac{8}{5}
\end{align*}
$a=2b,~a>0$ より，$b>0$ であるから，$b=\dfrac{8}{5}$&2b=-4b^2-b^2+16 \\[4pt]&5b^2+2b-16=0 \\[4pt]&(b+2)(5b-8)=0 \\[4pt]&b=-2,~\dfrac{8}{5}
\end{align*}
したがって，
\begin{align*}
a+b&=2b+b=3b \\[4pt]&=3\times\dfrac{8}{5}=\dfrac{24}{5}
\end{align*}
a+b&=2b+b=3b \\[4pt]&=3\times\dfrac{8}{5}=\dfrac{24}{5}
\end{align*}
ヒロ
最初でも説明したように，2つの円の方程式の差をとって直線の方程式を得たとしても，そもそも2つの円が共有点をもっていなければ何の意味もない。
ヒロ
ただ，今回は空欄を埋める問題だから，そのまま答えとしても良いだろう。
ヒロ
ちなみに求めた $a,~b$ の値のときに2つの円が共有点をもっているかについては，次のようにして確認することができる。
$a=2b=\dfrac{16}{5},~b=\dfrac{8}{5}$ のとき，2つの円の中心間の距離を $d$ とすると
\begin{align*}
d&=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5b^2} \\[4pt]&=\sqrt{5}b=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}
\end{align*}
また，2つの円の半径の和と差はd&=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5b^2} \\[4pt]&=\sqrt{5}b=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}
\end{align*}
\begin{align*}
&(和)=3+5=8 \\[4pt]&(差)=5-3=2
\end{align*}
であるから&(和)=3+5=8 \\[4pt]&(差)=5-3=2
\end{align*}
\begin{align*}
2<\dfrac{8\sqrt{5}}{5}<8 \end{align*}
となる。したがって，$C_1$ と $C_2$ は2点で交わっている。2<\dfrac{8\sqrt{5}}{5}<8 \end{align*}
ヒロ
「2つの円の中心間の距離と半径の間に成り立つ関係式」と「2つの円の位置関係」の関係については，次の記事で説明している。
