Contents
- ページ1
- 1 指数法則
- ページ2
- 1 指数法則を理解しよう
- 2 練習問題
指数法則を理解しよう
ヒロ
丸暗記でも良いが，間違えることがあるなら，意味を理解した方が良いだろう。
ヒロ
間違える原因の1つとして，2と2を足しても掛けても4になることが考えられる。
ヒロ
つまり「$(a^2)^2=a^4$」は正しいが，指数の4が「2と2の和」と「2と2の積」のどちらから出てきたものかが分かっていない人は危険である。
ヒロ
このような人は $(a^2)^3$ が $a^5$ か $a^6$ のどちらになるかが分からなくなり，勘で計算することになる。
ヒロ
正しく理解しておくと，勘で計算をすることもなくなるだろう。
【指数法則を理解しよう】
$a^3=a\times a\times a$ を見ると再認識できるように，指数部分の数字は $a$ を掛けている回数を表している。したがって，$a^2\times a^3$ を計算する場合は
(i) $m>n$ のとき
(iii) $m<n$ のとき
(i)～(iii)より，$m$ と $n$ の大小関係にかかわらず，
$a^3=a\times a\times a$ を見ると再認識できるように，指数部分の数字は $a$ を掛けている回数を表している。したがって，$a^2\times a^3$ を計算する場合は
\begin{align*}
a^2\times a^3&=\overbrace{(a\times a)\times(a\times a\times a)}^{5個} \\[4pt]
&=a^5
\end{align*}
となる。指数部分が次のように文字になっても理解できるようにしよう。a^2\times a^3&=\overbrace{(a\times a)\times(a\times a\times a)}^{5個} \\[4pt]
&=a^5
\end{align*}
\begin{align*}
a^ma^n&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{m個}\times\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{n個} \\[4pt]
&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{m+n個} \\[4pt]
&=a^{m+n}
\end{align*}
同じようにして，他の指数法則も確認しておこう。a^ma^n&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{m個}\times\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{n個} \\[4pt]
&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{m+n個} \\[4pt]
&=a^{m+n}
\end{align*}
\begin{align*}
(a^m)^n&=\overbrace{a^m\times a^m\times\cdots\times a^m}^{n個} \\[4pt]
&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{mn個} \\[4pt]
&=a^{mn} \\[4pt]
(ab)^n&=\overbrace{ab\times ab\times\cdots\times ab}^{n個} \\[4pt]
&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{n個}\times\overbrace{b\times b\times\cdots\times b}^{n個} \\[4pt]
&=a^nb^n
\end{align*}
最後は $m$ と $n$ の大小関係によって場合分けして確認する。(a^m)^n&=\overbrace{a^m\times a^m\times\cdots\times a^m}^{n個} \\[4pt]
&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{mn個} \\[4pt]
&=a^{mn} \\[4pt]
(ab)^n&=\overbrace{ab\times ab\times\cdots\times ab}^{n個} \\[4pt]
&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{n個}\times\overbrace{b\times b\times\cdots\times b}^{n個} \\[4pt]
&=a^nb^n
\end{align*}
(i) $m>n$ のとき
\begin{align*}
\dfrac{a^m}{a^n}&=\dfrac{\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{m個}}{\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n個}} \\[4pt]
&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{m-n個} \\[4pt]
&=a^{m-n}
\end{align*}
(ii) $m=n$ のとき\dfrac{a^m}{a^n}&=\dfrac{\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{m個}}{\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n個}} \\[4pt]
&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{m-n個} \\[4pt]
&=a^{m-n}
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{a^m}{a^m}=1
\end{align*}
1は $a^0$ と表すことができて，$m=n$ のときは $a^0=a^{m-n}$ となるから，$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ が成り立つ。\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{a^m}{a^m}=1
\end{align*}
(iii) $m<n$ のとき
\begin{align*} \dfrac{a^m}{a^n}&=\dfrac{\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{m個}}{\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n個}} \\[4pt] &=\dfrac{1}{\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n-m個}} \\[4pt] &=\dfrac{1}{a^{n-m}} \end{align*}
負の指数「$\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$」を用いると $\dfrac{1}{a^{n-m}}=a^{m-n}$ となるから，$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ が成り立つ。(i)～(iii)より，$m$ と $n$ の大小関係にかかわらず，
\begin{align*} \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \end{align*}
が成り立つ。練習問題
ヒロ
次の問題で練習しておこう。
練習問題次の計算をせよ。ただし，$a\neq0,~b\neq0$ とする。
(1) $a^6a^{-2}$
(2) $(a^{-2})^{-3}$
(3) $(a^2b^{-3})^2\times(a^3b^{-1})^{-3}$
(4) $\left(\dfrac{a}{b^2}\right)^2\times\left(\dfrac{a^2}{b^3}\right)^{-2}$
(1) $a^6a^{-2}$
(2) $(a^{-2})^{-3}$
(3) $(a^2b^{-3})^2\times(a^3b^{-1})^{-3}$
(4) $\left(\dfrac{a}{b^2}\right)^2\times\left(\dfrac{a^2}{b^3}\right)^{-2}$
【考え方と解答】
(1) $a^6a^{-2}=a^{6-2}=a^4$
(2) $(a^{-2})^{-3}=a^{-2\times(-3)}=a^6$
(3)
(1) $a^6a^{-2}=a^{6-2}=a^4$
(2) $(a^{-2})^{-3}=a^{-2\times(-3)}=a^6$
(3)
\begin{align*}
&(a^2b^{-3})^2\times(a^3b^{-1})^{-3} \\[4pt]
&=a^4b^{-6}\times a^{-9}b^3 \\[4pt]
&=a^{-5}b^{-2}
\end{align*}
(4)&(a^2b^{-3})^2\times(a^3b^{-1})^{-3} \\[4pt]
&=a^4b^{-6}\times a^{-9}b^3 \\[4pt]
&=a^{-5}b^{-2}
\end{align*}
\begin{align*}
&\left(\dfrac{a}{b^2}\right)^2\times\left(\dfrac{a^2}{b^3}\right)^{-2} \\[4pt]
&=\dfrac{a^2}{b^4}\times\dfrac{a^{-4}}{b^{-6}} \\[4pt]
&=\dfrac{a^{-2}}{b^{-2}}=\dfrac{b^2}{a^2}
\end{align*}
&\left(\dfrac{a}{b^2}\right)^2\times\left(\dfrac{a^2}{b^3}\right)^{-2} \\[4pt]
&=\dfrac{a^2}{b^4}\times\dfrac{a^{-4}}{b^{-6}} \\[4pt]
&=\dfrac{a^{-2}}{b^{-2}}=\dfrac{b^2}{a^2}
\end{align*}