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方程式の整数解を求める問題2
ヒロ
次は変数が3つの方程式を解く練習をしよう。
問題二つの条件
$z=\mybox{ア}-1$ の場合，①を整理して
①，②をともに満たす整数の組 $(x,~y,~z)$ は全部で $\myhako$ 個ある。
\begin{align*} \begin{cases} \dfrac3x+\dfrac2y+\dfrac1z=2 &~\cdots\cdots① \\[4pt] x>y\geqq z>0 &~\cdots\cdots② \end{cases} \end{align*}
を考える。②が成り立つとき，$\dfrac1x<\dfrac1y\leqq\dfrac1z$ となるので\begin{align*} \dfrac3x+\dfrac2y+\dfrac1z<\dfrac3z+\dfrac2z+\dfrac1z \end{align*}
が成り立つ。この左辺に①を代入した不等式を整理すると \begin{align*} z<\myBox{ア} \end{align*}
が導かれる。$z=\mybox{ア}-1$ の場合，①を整理して
\begin{align*} \left(x-\myhako\right)\left(\myhako y-\myhako\right)=\myhako \end{align*}
が導かれる。これと②を満たす整数の組 $(x,~y)$ は\begin{align*} (x,~y)=\left(\myhako,~\myhako\right) \end{align*}
である。①，②をともに満たす整数の組 $(x,~y,~z)$ は全部で $\myhako$ 個ある。
【考え方と解答】
空欄を埋める形式なので，誘導に乗れるようにしよう。
$\dfrac3x+\dfrac2y+\dfrac1z<\dfrac3z+\dfrac2z+\dfrac1z$ と①より
空欄を埋める形式なので，誘導に乗れるようにしよう。
$\dfrac3x+\dfrac2y+\dfrac1z<\dfrac3z+\dfrac2z+\dfrac1z$ と①より
\begin{align*} &2<\dfrac{6}{z} \\[4pt] &z<3 \end{align*}
$z=2$ のとき，①より \begin{align*} &\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{2}=2 \\[4pt] &\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{3}{2} \\[4pt] &6y+4x=3xy \\[4pt] &3xy-4x-6y=0 \end{align*}
空欄に合うように変形しよう。\begin{align*} &(x-2)(3y-4)=8 \end{align*}
$x>y\geqq2$ より $3y-4\geqq2$ であるから\begin{align*} &(x-2,~3y-4)=(4,~2) \\[4pt] &(x,~y)=(6,~2) \end{align*}
$z=1$ のとき，①より\begin{align*} &\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}+1=2 \\[4pt] &\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=1 \\[4pt] &3y+2x=xy \\[4pt] &xy-2x-3y=0 \\[4pt] &(x-3)(y-2)=6 \end{align*}
$x>y\geqq1$ より $x-3\geqq y-2\geqq-1$ であるから \begin{align*} &(x-3,~y-2)=(3,~2),~(6,~1) \\[4pt] &(x,~y)=(6,~4),~(9,~3) \end{align*}
以上より，①，②をともに満たす整数の組 $(x,~y,~z)$ は\begin{align*} (x,~y,~z)=(6,~4,~1),~(9,~3,~1),~(6,~2,~2) \end{align*}
の3個ある。