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方程式の整数解を求める問題3【有名問題】
問題$x,~y,~z$ は自然数で，$x\leqq y\leqq z$ とする。
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$ を満たす $x,~y,~z$ の値の組をすべて求めよ。
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$ を満たす $x,~y,~z$ の値の組をすべて求めよ。
【考え方と解答】
まずは範囲を絞り込もう。
$x\leqq y\leqq z$ より，$\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\leqq\dfrac3x$ となるから，
(i) $x=2$のとき
まずは範囲を絞り込もう。
$x\leqq y\leqq z$ より，$\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\leqq\dfrac3x$ となるから，
\begin{align*}
&1\leqq\dfrac3x \\[4pt]&x\leqq3
\end{align*}
また，$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}>0$ より&1\leqq\dfrac3x \\[4pt]&x\leqq3
\end{align*}
\begin{align*}
&1-\dfrac{1}{x}>0 \\[4pt]&x>1
\end{align*}
よって，$x=2$ または $x=3$ である。&1-\dfrac{1}{x}>0 \\[4pt]&x>1
\end{align*}
(i) $x=2$のとき
\begin{align*}
&\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac12 \\[4pt]&yz-2y-2z=0 \\[4pt]&(y-2)(z-2)=4
\end{align*}
$0\leqq y-2\leqq z-2$より，&\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac12 \\[4pt]&yz-2y-2z=0 \\[4pt]&(y-2)(z-2)=4
\end{align*}
\begin{align*}
&(y-2,~z-2)=(1,~4),~(2,~2) \\[4pt]&(y,~z)=(3,~6),~(4,~4)
\end{align*}
(ii) $x=3$のとき&(y-2,~z-2)=(1,~4),~(2,~2) \\[4pt]&(y,~z)=(3,~6),~(4,~4)
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac23 \\[4pt]&4yz-6y-6z=0
\end{align*}
$yz$ の係数をあえて4にしているのは，次の変形で対称性が崩れないようにするためである。4という平方数にすることによって，$y$ と $z$ の係数が等しくなるように変形することができる。&\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac23 \\[4pt]&4yz-6y-6z=0
\end{align*}
\begin{align*}
&4yz-6y-6z=0 \\[4pt]&(2y-3)(2z-3)=9
\end{align*}
$3\leqq 2y-3\leqq 2z-3$より，&4yz-6y-6z=0 \\[4pt]&(2y-3)(2z-3)=9
\end{align*}
\begin{align*}
&(2y-3,~2z-3)=(3,~3) \\[4pt]&(y,~z)=(3,~3)
\end{align*}
(i),~(ii)より，&(2y-3,~2z-3)=(3,~3) \\[4pt]&(y,~z)=(3,~3)
\end{align*}
\begin{align*}
(x,~y,~z)=(2,~3,~6),(2,~4,~4),(3,~3,~3)
\end{align*}
(x,~y,~z)=(2,~3,~6),(2,~4,~4),(3,~3,~3)
\end{align*}
ヒロ
問題によっては $x,~y,~z$ の大小関係が設定されていないものもある。
ヒロ
その場合は全部で10組存在するが，そのまま求めるのは面倒である。
ヒロ
したがって，大小関係が設定されていない問題では，自分で大小関係を設定してから解くようにしよう。
ヒロ
大小関係が $x>y>z$ となっていて $x+y+z$ の値を求める問題が2007年の兵庫医科大で出題されている。
ヒロ
上の結果から分かるが，答えは11である。