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$(a+b+c)^3$ を楽に速く展開する方法
では，今回の問題の $(a+b+c)^3$ を展開する問題を考えてみよう。
まずはどんな項が出てくるか・・・そのためには文字の種類に着目するんだっけ・・・
まずは文字の種類に着目して，１種類から３種類の３パターンに分けて考えるってことで合ってますか？
うん，そうだね！展開を考えたとき，具体的にはどんな項が出てくる？
１種類の項は，$a^3,b^3,c^3$ の３つで，３種類の項は $abc$ だけです。２種類の項は，$a^2b$ や $b^2c$ とか色々あってちょっと難しいです。
１種類の項と３種類の項についてはOKだね！２種類の項については規則的に考えよう。
規則的ってどういうことですか？
最初に $a^2b$ と言ったよね？これは３つの文字 $a,b,c$ から左２つの $a,b$ を選んでいることになるんだ。そして，一旦２文字を選んだら，その選んだ２文字から出てくる項を全部考えよう。つまり，取る個数に着目すると $a$ を２つ取るときと１つ取るときがあるから，$a^2b$ 以外に $ab^2$ という項も出てくるよね？次は
あっ！言わないで下さい！次は，右２つの $b,~c$ を選んで，$b^2c$ と $bc^2$ が出てきます。最後に，両端の $c,~a$ を選んで，$c^2a$ と $ca^2$ が出てくるってことで合ってますか？
完璧だね！$a\to b\to c\to a$ のサイクルを意識した輪環の順についても知ってるんだね。じゃあ，その調子で係数も考えようか。
まず，１種類の $a^3,~b^3,~c^3$ の係数は全部１です。２種類の項は $a^2b$ を考えると，さっきと同じようにして，３つの括弧のうち１つだけ $b$ をとるから，$\nCk{3}{1}=3$ 通り。他の項も同じだから，２種類の項の係数は全部３になります。
うん，そうだね！
では，最後の３種類の項 $abc$ の係数はどうなる？
３種類の $abc$ の係数は・・・よく分かりません。
３つの括弧から選ぶ方法って考えると難しいかも。例えば，$abc$ の場合は左から順に $a,~b,~c$ と選んだことになるし，$bac$ の場合は左から順に $b,~a,~c$ と選んだことになるよね？でもこれは，視点を変えると，$a,~b,~c$ の３文字を並べる方法が何通りあるかってことを考えるのと一緒だね。
なるほど！異なる $n$ 個のものを１列に並べる方法は，$n!$ 通りだから，$a,~b,~c$ の３文字を並べる方法は全部で $3!=6$ 通りになります。つまり，$abc$ の係数は６ということですね！
そうだね！ってことで解答の式は長いけど次のようになるね。
(a+b+c)^3=a^3&+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2 \\
&+3b^2c+3bc^2+3c^2a+3ca^2+6abc
\end{align*}
面倒な展開の問題だと思ったら，場合の数の知識を利用することで楽に速く展開できることもあるんですね！
複数の単元の知識を結びつけることはとても重要なことなんだ。
ありがとうございました！
いえいえ。この調子で頑張ってね！
まとめ
一見，面倒だと思う $(a+b+c)^2$ や $(a+b+c)^3$ の展開も，どのような項が現れるか，また，それぞれの項の係数がどうなるかを考えることによって，楽に速く展開できることを覚えておこう。
- 三項式の2乗の展開公式\begin{align*}
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
\end{align*} - 三項式の3乗の展開公式\begin{align*}
(a+b+c)^3=a^3&+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2 \\
&+3b^2c+3bc^2+3c^2a+3ca^2+6abc
\end{align*}
1つ1つ掛けて展開するといった面倒な方法なら誰でもできるが，展開について「分かっている」とは言い難い。展開についてしっかり理解することが重要。
ただ，実際の入試で 「$(a+b+c)^3$ を展開せよ。」と出題されることは，今までに2回ほど見ただけでほとんどない。
$x^3+y^3+z^3$ の値を求めるときや，3乗に関連する対称式を見た場合に，$(x+y+z)^3$ の展開を考える人がいるが，ほとんどの場合 $(x+y+z)^3$ を自分から答案に持ち出す必要はない。もっとうまい方法があるから，その方法を使えるようにした方が良い。
それについては，また今度ということで，今回は終わりにしよう。