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$(a+b)^3$ の展開公式を考えることで，展開の考え方を理解する
まずは問題の本質を捉えるために，より簡単な $(a+b)^3$ の展開を考えることにしよう。
その展開なら公式を覚えてますよ？こうですよね！
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\end{align*}
そうだね！3乗の展開公式をしっかり覚えてるのはいいね！ただ，今回はその展開公式の意味を考えてみようか。数式を展開するときには，次の２つのことを考えよう。
- どのような項が現れるか？
- 各項の係数はいくつか？
項と係数って，それが簡単に分かるなら苦労しないんですけどね・・・
また，展開そのものについては次のように解釈しておこう。
１つずつ掛けて展開するのと何が違うのか，よく分かんない・・・
今から具体的に説明するから大丈夫。まずは
\[(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)\]と括弧が3つあると考えよう。それぞれの括弧からは $a$ か $b$ のどちらか１つを必ず選ばなければならない。
例えば次のように，左の括弧から $a$ を選んで，真ん中の括弧から $a$，右の括弧から $b$ を選んだ場合は，それら３つを掛けて $a^2b$ という項になるってこと。
これは分かるよね？
はい，大丈夫です！
意味が分かりました。
ちなみに，１つの括弧から２通りの選び方があって，括弧は３つあるから，全部で $2\times2\times2=8$ 通りある。つまり，同類項をまとめなければ，出てくる項は全部で８個あることも押さえておこう。
はい！積の法則ですね！
他にはどんな項が出てくるか分かる？
結局１つ１つ掛けて調べるんですか？
それだと意味がないよね。文字の種類に着目して考えよう。さっきの $a^2b$ は $a$ と $b$ の2種類の文字からなる項ってこと。出てくる項の文字の種類が一番少なくなるのは何種類のとき？
それは１種類のときですね！
うん，そうだね。
逆に文字の種類が一番多くなるのは？
カンタンです。２種類です！
そうだね。つまり文字の種類に着目すると，出てくる項の文字の種類は１種類か２種類ということが分かるね。
では次に，具体的にはどんな項が出てくるか分かる？
文字の種類が１種類の項は，$a^3$ と $b^3$ で，２種類の項は，$a^2b$ と $ab^2$ です。
そうだね。これで展開をするときに考える２つのことのうち，１つが終わったことになる。あとはそれぞれの項の係数を考えていこう。ちなみに各項の係数については，次のように解釈しよう。
例えば，$a^3$ という項は，３つの括弧すべてから $a$ を取るしかないよね？つまり文字の選び方は１通りしかない。だから $a^3$ の係数は１ということ。同様に，$b^3$ の係数も１になるね。
なるほど！じゃあ，$a^2b$ の係数は，３つの括弧から $a$ を２つ，$b$ を１つ取る方法が何通りあるかを考えれば良いってことですか？
おお！その通り！
実際に何通りあるか分かる？
３つの括弧から $a$ を２つ取る方法が $\nCk{3}{2}=3$ 通りで，残りの括弧からは $b$ を取ることが決まっているから，結局３通り。だから $a^2b$ の係数が３になるんですね！
完璧だね！取る個数が少ない $b$ に着目して，$\nCk{3}{1}=3$ としてもいいよ。残った $ab^2$ も同様に考えると，係数が３になる理由は分かるね。
はい！初めに言ってた「項と係数」の意味が分かりました。