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2020年 神奈川大
2020年 神奈川大$4^x-7\Cdot2^x-8=0$ の解は $x=\myhako$ である。
【考え方と解答】
$4^x$ は $(2^2)^x$ と $(2^x)^2$ の2つの見方をすることができる。$(2^x)^2$ とみることで，$2^x=t$ とおくと，与えられた方程式は $t$ の2次方程式になる。ただし，文字を置き換えるのが面倒な人は，置き換えずにそのまま解いていこう。
与えられた方程式より
$4^x$ は $(2^2)^x$ と $(2^x)^2$ の2つの見方をすることができる。$(2^x)^2$ とみることで，$2^x=t$ とおくと，与えられた方程式は $t$ の2次方程式になる。ただし，文字を置き換えるのが面倒な人は，置き換えずにそのまま解いていこう。
与えられた方程式より
\begin{align*}
&(2^x)^2-7\Cdota2^x-8=0 \\[4pt]
&(2^x-8)(2^x+1)=0
\end{align*}
$2^x>0$ であるから&(2^x)^2-7\Cdota2^x-8=0 \\[4pt]
&(2^x-8)(2^x+1)=0
\end{align*}
\begin{align*}
&2^x=8 \\[4pt]
&x=3
\end{align*}
&2^x=8 \\[4pt]
&x=3
\end{align*}
2020年 学習院大
2020年 学習院大2つの等式
\begin{align*}
x+2y+1=0,~3^{1-x}+9^{1-y}=82
\end{align*}
を同時に満たす実数の組 $(x,~y)$ をすべて求めよ。x+2y+1=0,~3^{1-x}+9^{1-y}=82
\end{align*}
【考え方と解答】
連立方程式の解き方の基本は「一文字消去」である。$x$ を消去してみよう。$x+2y+1=0$ より，$x=-2y-1$
$3^{1-x}+9^{1-y}=82$ に代入すると
よって，
連立方程式の解き方の基本は「一文字消去」である。$x$ を消去してみよう。$x+2y+1=0$ より，$x=-2y-1$
$3^{1-x}+9^{1-y}=82$ に代入すると
\begin{align*}
&3^{2y+2}+9^{1-y}=82 \\[4pt]
&9^{y+1}+9^{1-y}=82 \\[4pt]
&9\Cdota9^y+\dfrac{9}{9^y}=82 \\[4pt]
&9(9^y)^2-82\Cdota9^y+9=0 \\[4pt]
&(9\Cdota9^y-1)(9^y-9)=0 \\[4pt]
&9^y=\dfrac{1}{9},~9 \\[4pt]
&y=-1,~1
\end{align*}
$y=-1$ のとき $x=1$ であり，$y=1$ のとき $x=-3$ である。&3^{2y+2}+9^{1-y}=82 \\[4pt]
&9^{y+1}+9^{1-y}=82 \\[4pt]
&9\Cdota9^y+\dfrac{9}{9^y}=82 \\[4pt]
&9(9^y)^2-82\Cdota9^y+9=0 \\[4pt]
&(9\Cdota9^y-1)(9^y-9)=0 \\[4pt]
&9^y=\dfrac{1}{9},~9 \\[4pt]
&y=-1,~1
\end{align*}
よって，
\begin{align*}
(x,~y)=(1,~-1),~(-3,~1)
\end{align*}
(x,~y)=(1,~-1),~(-3,~1)
\end{align*}
2016年 立命館大
2016年 立命館大$x$ の方程式 $9^x-a\Cdot3^{x+1}+a+1=0$ について，異なる2つの正の実数解をもつとき，$a$ の値の範囲は $\myhako<a<\myhako$ である。
【考え方と解答】
$3^x=t$ とおくと，$x>0$ のとき，$t>1$ である。
与えられた方程式を $t$ を用いて表すと
①の左辺を $f(t)$ とし，判別式を $D$ とすると
④より
$3^x=t$ とおくと，$x>0$ のとき，$t>1$ である。
与えられた方程式を $t$ を用いて表すと
\begin{align*}
&t^2-3at+a+1=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
与えられた条件を満たすのは，①が異なる2つの1より大きい解をもつときである。&t^2-3at+a+1=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
①の左辺を $f(t)$ とし，判別式を $D$ とすると
\begin{align*}
\begin{cases}
D>0 &~\cdots\cdots② \\[4pt]
y=f(t)~の軸：t=\dfrac{3}{2}a>1 &~\cdots\cdots③ \\[4pt]
f(1)\leqq0 &~\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}
②より\begin{cases}
D>0 &~\cdots\cdots② \\[4pt]
y=f(t)~の軸：t=\dfrac{3}{2}a>1 &~\cdots\cdots③ \\[4pt]
f(1)\leqq0 &~\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
&9a^2-4(a+1)>0 \\[4pt]
&9a^2-4a-4>0 \\[4pt]
&a<\dfrac{2-2\sqrt{10}}{9},~\dfrac{2+2\sqrt{10}}{9}<a~\cdots\cdots②’ \end{align*}
③より，$a>\dfrac{2}{3}~\cdots\cdots③’$&9a^2-4(a+1)>0 \\[4pt]
&9a^2-4a-4>0 \\[4pt]
&a<\dfrac{2-2\sqrt{10}}{9},~\dfrac{2+2\sqrt{10}}{9}<a~\cdots\cdots②’ \end{align*}
④より
\begin{align*}
&1-3a+a+1>0 \\[4pt]
&a<1~\cdots\cdots④’ \end{align*}
②$’$，③$’$，④$’$より &1-3a+a+1>0 \\[4pt]
&a<1~\cdots\cdots④’ \end{align*}
\begin{align*} \dfrac{2+2\sqrt{10}}{9}<a<1 \end{align*}