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不定方程式の問題2【日本大】
2019年 日本大$x,~y$ の方程式 $119x+57y=1$ をみたす整数解 $x,~y$ で，$y$ が最小の自然数になるとき，$y=\myhako$ である。
【考え方と解答】
ユークリッドの互除法で整数解の1つを求めよう。
$y$ が最小の自然数になるのは $k=-1$ のときで，このとき $y=119-48=71$ である。
ユークリッドの互除法で整数解の1つを求めよう。
\begin{align*}
&119=57\times2+5 \\[4pt]
&57=5\times11+2 \\[4pt]
&5=2\times2+1
\end{align*}
下の式から順に利用していくだけ。&119=57\times2+5 \\[4pt]
&57=5\times11+2 \\[4pt]
&5=2\times2+1
\end{align*}
\begin{align*}
1&=5-2\times2 \\[4pt]
&=5-(57-5\times11)\times2 \\[4pt]
&=5\times23-57\times2 \\[4pt]
&=(119-57\times2)\times23-57\times2 \\[4pt]
&=119\times23-57\times48
\end{align*}
よって $119\times23+57\times(-48)=1$ となるから，与えられた方程式と辺々の差をとって1&=5-2\times2 \\[4pt]
&=5-(57-5\times11)\times2 \\[4pt]
&=5\times23-57\times2 \\[4pt]
&=(119-57\times2)\times23-57\times2 \\[4pt]
&=119\times23-57\times48
\end{align*}
\begin{align*}
119(x-23)+57(y+48)=0
\end{align*}
119と57は互いに素であるから，整数 $k$ を用いて119(x-23)+57(y+48)=0
\end{align*}
\begin{align*}
&\begin{cases}
x-23=57k \\[4pt]
y+48=-119k
\end{cases} \\[4pt]
&\begin{cases}
x=57k+23 \\[4pt]
y=-119k-48
\end{cases}
\end{align*}
と表すことができる。&\begin{cases}
x-23=57k \\[4pt]
y+48=-119k
\end{cases} \\[4pt]
&\begin{cases}
x=57k+23 \\[4pt]
y=-119k-48
\end{cases}
\end{align*}
$y$ が最小の自然数になるのは $k=-1$ のときで，このとき $y=119-48=71$ である。