3次関数のグラフの等間隔性

3次関数のグラフには様々な特徴があります。この記事では3次関数のグラフの等間隔性について説明します。他のサイトでは「3次関数の4等分の法則」や「縦4個×横2個の合同な四角形に埋め込まれる」「5点定理」など，様々な表現方法があるみたいですが，当サイトでは「等間隔性」と表現することにします。

3次関数の等間隔性を知ることで，3次関数のグラフと接線の関係など様々な問題に対して，今までとは異なる考え方ができるようになるかもしれません。

Contents

1 3次関数のグラフの等間隔性
2 3次関数のグラフと接線の関係
3 3次関数のグラフの等間隔性
4 1997年センター数学IIB
- 4.1 一般的な解法
- 4.2 3次関数の等間隔性を利用した解法
5 まとめ

3次関数のグラフの等間隔性

ヒロ

まず，3次関数のグラフにどのような特徴があるかを知ろう。

3次関数のグラフの等間隔性3次関数のグラフは次のような等間隔性をもっている。

3次関数のグラフと接線の関係

ヒロ

3次関数のグラフの等間隔性を理解するために，まずは，次の例題を解いて3次関数のグラフと接線の関係について知ろう。

例題$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d~(a\neq0)$ とするとき，次の問いに答えよ。
(1) $C:y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(\alpha,~f(\alpha))$ における接線 $\ell$ の方程式を求めよ。
(2) $C$ と $\ell$ の共有点のうち，Pと異なる点をQとするとき，点Qの $x$ 座標を求めよ。

ヒロ

(1)は接線の方程式を求める方法を知っていれば大丈夫なはず。

【(1)の解答】
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ より

\begin{align*}
f'(x)=3ax^2+2bx+c
\end{align*}

となるから，点Pにおける接線 $\ell$ の方程式は

\begin{align*}
&y=(3a\alpha^2+2b\alpha+c)(x-\alpha)+a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d \\[4pt]
&y=(3a\alpha^2+2b\alpha+c)x-2a\alpha^3-b\alpha^2+d
\end{align*}

ヒロ

(2)は連立方程式を解けば良い。

【(2)の解答】
$C,~\ell$ の方程式から $y$ を消去すると

\begin{align*}
&ax^3+bx^2-(3a\alpha^2+2b\alpha)x+2a\alpha^3+b\alpha^2=0~\cdots\cdots(\ast)
\end{align*}

ヒロ

$C$ と $\ell$ は点Pで接しているから，方程式 $(\ast)$ は $x=\alpha$ を重解にもつね。これを利用して賢く因数分解をできるようにしよう。

$(\ast)$ の左辺は $(x-\alpha)^2$ を因数にもつから，残り1つの解を $x=\beta$ とすると，$(\ast)$ は

\begin{align*}
&a(x-\alpha)^2(x-\beta)=0
\end{align*}

と変形できる。定数項に着目すると

\begin{align*}
&-a\alpha^2\beta=2a\alpha^3+b\alpha^2 \\[4pt]
&\beta=-2\alpha-\dfrac{b}{a}
\end{align*}

【(2)の解答の続き】
$(\ast)$ を因数分解すると

\begin{align*}
&a(x-\alpha)^2\left(x+2\alpha+\dfrac{b}{a}\right)=0 \\[4pt]
&x=\alpha,~-2\alpha-\dfrac{b}{a}
\end{align*}

よって，点Qの $x$ 座標は $-2\alpha-\dfrac{b}{a}$ である。

3次関数のグラフの等間隔性

ヒロ

接点Pやもう1つの交点Qの $x$ 座標にどのような関係があるかを調べていこう。

\begin{align*}
ax^3+bx^2-(3a\alpha^2+2b\alpha)x+2a\alpha^3+b\alpha^2=0~\cdots\cdots(\ast)
\end{align*}

方程式 $(\ast)$ の3つの解は $\alpha,~\alpha,~\beta$ であるから，解と係数の関係より

\begin{align*}
2\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}
\end{align*}

が成り立つ。両辺を3で割ると

\begin{align*}
\dfrac{2\alpha+\beta}{3}=-\dfrac{b}{3a}~\cdots\cdots①
\end{align*}

ヒロ

ここで，変曲点をAとすると $x$ 座標が $-\dfrac{b}{3a}$ であることを思い出そう。

$\mathrm{P}_h(\alpha,~0)$, $\mathrm{A}_h\left(-\dfrac{b}{3a},~0\right)$, $\mathrm{Q}_h(\beta,~0)$ とすると，①は点A$_h$ は線分PQを $1:2$ に内分する点であることを表している。

ヒロ

3次関数が変曲点に関して対称であることを考えよう。

点Aに関して点Pと対称な点をRとすると，$\mathrm{AP=AR}$ であるから，4点Q, R, A, Pから $x$ 軸に下ろした垂線の足は $x$ 軸上に等間隔に並ぶ。

ヒロ

3次関数の対称性より，点Rにおける $C$ の接線 $m$ は接線 $\ell$ と平行になる。

$m$ と $C$ の交点をSとすると，5点Q, R, A, P, Sから $x$ 軸に下ろした垂線の足は $x$ 軸上に等間隔に並ぶ。

1997年センター数学IIB

ヒロ

3次関数のグラフの等間隔性を利用する練習として，次の問題を解いてみよう。

1997年センター試験追試験$f(x)=x^3-\dfrac{4}{3}x$ とする。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A}(a,~f(a))$ における接線 $\ell$ が，曲線上の他の点 $\mathrm{B}(b,~f(b))$ を通るならば $b=\myBox{アイ}a$ である。

一般的な解法

ヒロ

まず，接線 $\ell$ の方程式を求める。その後 $y=f(x)$ と連立して，$x$ の方程式を立てる。その方程式の $x=a$ 以外の解が $x=b$ である。

ヒロ

このように考えて解いていこう。

$f(x)=x^3-\dfrac{4}{3}x$ より

\begin{align*}
f'(x)=3x^2-\dfrac{4}{3}
\end{align*}

だから，点Aにおける接線 $\ell$ の方程式は

\begin{align*}
&y=\left(3a^2-\dfrac{4}{3}\right)(x-a)+a^3-\dfrac{4}{3}a \\[4pt]
&y=\left(3a^2-\dfrac{4}{3}\right)x-2a^3
\end{align*}

$y=f(x)$ と連立して，

\begin{align*}
&x^3-\dfrac{4}{3}x=\left(3a^2-\dfrac{4}{3}\right)x-2a^3 \\[4pt]
&x^3-3a^2x+2a^3=0 \\[4pt]
&(x-a)^2(x+2a)=0 \\[4pt]
&x=a,~-2a
\end{align*}

よって，$b=-2a$

3次関数の等間隔性を利用した解法

ヒロ

次は3次関数の等間隔性を利用した解法を説明する。

$x^2$ の係数が0であり，定数項は0であるから，原点が変曲点となる。
2点A, Bから $x$ 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{H}_1,~\mathrm{H}_2$ とすると，3次関数のグラフの等間隔性より，原点Oは $\mathrm{H}_1\mathrm{H}_2$ を $1:2$ に内分する点となる。
よって，$b=-2a$