3次関数のグラフの等間隔性

3次関数のグラフには様々な特徴があります。この記事では3次関数のグラフの等間隔性について説明します。他のサイトでは「3次関数の4等分の法則」や「縦4個×横2個の合同な四角形に埋め込まれる」「5点定理」など，様々な表現方法があるみたいですが，当サイトでは「等間隔性」と表現することにします。

3次関数の等間隔性を知ることで，3次関数のグラフと接線の関係など様々な問題に対して，今までとは異なる考え方ができるようになるかもしれません。

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1 3次関数のグラフの等間隔性
2 3次関数のグラフと接線の関係
3 3次関数のグラフの等間隔性
4 1997年センター数学IIB
- 4.1 一般的な解法
- 4.2 3次関数の等間隔性を利用した解法
5 まとめ

3次関数のグラフの等間隔性

ヒロ

まず，3次関数のグラフにどのような特徴があるかを知ろう。

3次関数のグラフの等間隔性3次関数のグラフは次のような等間隔性をもっている。

3次関数のグラフと接線の関係

ヒロ

3次関数のグラフの等間隔性を理解するために，まずは，次の例題を解いて3次関数のグラフと接線の関係について知ろう。

例題

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d~(a\neq0)$ とするとき，次の問いに答えよ。
(1)

$C:y=f(x)$ 上の点

$\mathrm{P}(\alpha,~f(\alpha))$ における接線

$\ell$ の方程式を求めよ。
(2)

$C$ と

$\ell$ の共有点のうち，Pと異なる点をQとするとき，点Qの

$x$ 座標を求めよ。

ヒロ

(1)は接線の方程式を求める方法を知っていれば大丈夫なはず。

【(1)の解答】

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ より

$\begin{align*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{align*}$

となるから，点Pにおける接線

$\ell$ の方程式は

$\begin{align*} &y=(3a\alpha^2+2b\alpha+c)(x-\alpha)+a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d \\[4pt] &y=(3a\alpha^2+2b\alpha+c)x-2a\alpha^3-b\alpha^2+d \end{align*}$

ヒロ

(2)は連立方程式を解けば良い。

【(2)の解答】

$C,~\ell$ の方程式から

$y$ を消去すると

$\begin{align*} &ax^3+bx^2-(3a\alpha^2+2b\alpha)x+2a\alpha^3+b\alpha^2=0~\cdots\cdots(\ast) \end{align*}$

ヒロ

$C$ と $\ell$ は点Pで接しているから，方程式 $(\ast)$ は $x=\alpha$ を重解にもつね。これを利用して賢く因数分解をできるようにしよう。

$(\ast)$ の左辺は

$(x-\alpha)^2$ を因数にもつから，残り1つの解を

$x=\beta$ とすると，

$(\ast)$ は

$\begin{align*} &a(x-\alpha)^2(x-\beta)=0 \end{align*}$

と変形できる。定数項に着目すると

$\begin{align*} &-a\alpha^2\beta=2a\alpha^3+b\alpha^2 \\[4pt] &\beta=-2\alpha-\dfrac{b}{a} \end{align*}$

【(2)の解答の続き】

$(\ast)$ を因数分解すると

$\begin{align*} &a(x-\alpha)^2\left(x+2\alpha+\dfrac{b}{a}\right)=0 \\[4pt] &x=\alpha,~-2\alpha-\dfrac{b}{a} \end{align*}$

よって，点Qの

$x$ 座標は

$-2\alpha-\dfrac{b}{a}$ である。

3次関数のグラフの等間隔性

ヒロ

接点Pやもう1つの交点Qの $x$ 座標にどのような関係があるかを調べていこう。

$\begin{align*} ax^3+bx^2-(3a\alpha^2+2b\alpha)x+2a\alpha^3+b\alpha^2=0~\cdots\cdots(\ast) \end{align*}$

方程式

$(\ast)$ の3つの解は

$\alpha,~\alpha,~\beta$ であるから，解と係数の関係より

$\begin{align*} 2\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a} \end{align*}$

が成り立つ。両辺を3で割ると

$\begin{align*} \dfrac{2\alpha+\beta}{3}=-\dfrac{b}{3a}~\cdots\cdots① \end{align*}$

ヒロ

ここで，変曲点をAとすると $x$ 座標が $-\dfrac{b}{3a}$ であることを思い出そう。

$\mathrm{P}_h(\alpha,~0)$ ,

$\mathrm{A}_h\left(-\dfrac{b}{3a},~0\right)$ ,

$\mathrm{Q}_h(\beta,~0)$ とすると，①は点A

$_h$ は線分PQを

$1:2$ に内分する点であることを表している。

ヒロ

3次関数が変曲点に関して対称であることを考えよう。

点Aに関して点Pと対称な点をRとすると，

$\mathrm{AP=AR}$ であるから，4点Q, R, A, Pから

$x$ 軸に下ろした垂線の足は

$x$ 軸上に等間隔に並ぶ。

ヒロ

3次関数の対称性より，点Rにおける $C$ の接線 $m$ は接線 $\ell$ と平行になる。

$m$ と

$C$ の交点をSとすると，5点Q, R, A, P, Sから

$x$ 軸に下ろした垂線の足は

$x$ 軸上に等間隔に並ぶ。

1997年センター数学IIB

ヒロ

3次関数のグラフの等間隔性を利用する練習として，次の問題を解いてみよう。

1997年センター試験追試験

$f(x)=x^3-\dfrac{4}{3}x$ とする。曲線

$y=f(x)$ 上の点

$\mathrm{A}(a,~f(a))$ における接線

$\ell$ が，曲線上の他の点

$\mathrm{B}(b,~f(b))$ を通るならば

$b=\myBox{アイ}a$ である。

一般的な解法

ヒロ

まず，接線 $\ell$ の方程式を求める。その後 $y=f(x)$ と連立して， $x$ の方程式を立てる。その方程式の $x=a$ 以外の解が $x=b$ である。

ヒロ

このように考えて解いていこう。

$f(x)=x^3-\dfrac{4}{3}x$ より

$\begin{align*} f'(x)=3x^2-\dfrac{4}{3} \end{align*}$

だから，点Aにおける接線

$\ell$ の方程式は

$\begin{align*} &y=\left(3a^2-\dfrac{4}{3}\right)(x-a)+a^3-\dfrac{4}{3}a \\[4pt] &y=\left(3a^2-\dfrac{4}{3}\right)x-2a^3 \end{align*}$

$y=f(x)$ と連立して，

$\begin{align*} &x^3-\dfrac{4}{3}x=\left(3a^2-\dfrac{4}{3}\right)x-2a^3 \\[4pt] &x^3-3a^2x+2a^3=0 \\[4pt] &(x-a)^2(x+2a)=0 \\[4pt] &x=a,~-2a \end{align*}$

よって，

$b=-2a$