5進数から10進数への変換の問題
2019年 大阪工業大5進法で表された $0.31$ を10進法の小数で表すと $\myhako$ である。
【考え方と解答】
5進法だから，小数第1位は $\dfrac{1}{5}$ の位を表し，小数第2位は $\dfrac{1}{5^2}$ の位を表す。
5進法だから，小数第1位は $\dfrac{1}{5}$ の位を表し，小数第2位は $\dfrac{1}{5^2}$ の位を表す。
\begin{align*}
0.31_{(5)}&=\dfrac{1}{5}\times3+\dfrac{1}{5^2} \\[4pt]
&=\dfrac{15+1}{25}=\dfrac{16}{25} \\[4pt]
&=0.64
\end{align*}
0.31_{(5)}&=\dfrac{1}{5}\times3+\dfrac{1}{5^2} \\[4pt]
&=\dfrac{15+1}{25}=\dfrac{16}{25} \\[4pt]
&=0.64
\end{align*}
ヒロ
問題文の「小数」の部分に注意しよう。$\dfrac{16}{25}$ で止めてはいけない。
ヒロ
また，計算方法について少し言っておくと「25で割る」ことは「4倍して100で割る」ことと同じである。
【$16\div25$ の計算】
\begin{align*}
16\div25&=16\times4\div100 \\[4pt]
&=64\div100 \\[4pt]
&=0.64
\end{align*}
16\div25&=16\times4\div100 \\[4pt]
&=64\div100 \\[4pt]
&=0.64
\end{align*}
5の累乗で割る計算
- 「5で割る」ことは「2倍して10で割る」ことと同じ。
- 「25で割る」ことは「4倍して100で割る」ことと同じ。
$n$ 進数 で表された方程式の問題
2019年 久留米大・医4桁の $(n+1)$ 進数 $123n_{(n+1)}$ を考える。
\begin{align*}
n_{(n+1)}\times123n_{(n+1)}=11111_{(n+1)}
\end{align*}
を満たすような $n$ の値のとき，$11111_{(n+1)}$ を10進法で表すと $\myhako$ である。ただし，$n$ は4以上9以下の自然数とする。n_{(n+1)}\times123n_{(n+1)}=11111_{(n+1)}
\end{align*}
【考え方と解答】
左辺を10進法で表すと
$n+1=x$ とおくと
したがって
左辺を10進法で表すと
\begin{align*}
&n_{(n+1)}\times123n_{(n+1)} \\[4pt]&=n\{(n+1)^3+2(n+1)^2+3(n+1)+n\}
\end{align*}
右辺にも $n+1$ のカタマリが現れることを考えると，$n+1$ を別の文字で置き換えておくと都合が良いだろう。&n_{(n+1)}\times123n_{(n+1)} \\[4pt]&=n\{(n+1)^3+2(n+1)^2+3(n+1)+n\}
\end{align*}
$n+1=x$ とおくと
\begin{align*}
(左辺)&=(x-1)(x^3+2x^2+3x+x-1) \\[4pt]&=(x-1)(x^3+2x^2+4x-1) \\[4pt]&=x^4+x^3+2x^2-5x+1
\end{align*}
同様に(左辺)&=(x-1)(x^3+2x^2+3x+x-1) \\[4pt]&=(x-1)(x^3+2x^2+4x-1) \\[4pt]&=x^4+x^3+2x^2-5x+1
\end{align*}
\begin{align*}
(右辺)&=(n+1)^4+(n+1)^3+(n+1)^2+(n+1)+1 \\[4pt]&=x^4+x^3+x^2+x+1
\end{align*}
となるから，与えられた方程式より(右辺)&=(n+1)^4+(n+1)^3+(n+1)^2+(n+1)+1 \\[4pt]&=x^4+x^3+x^2+x+1
\end{align*}
\begin{align*}
&x^4+x^3+2x^2-5x+1=x^4+x^3+x^2+x+1 \\[4pt]&x^2-6x=0 \\[4pt]&x(x-6)=0 \\[4pt]&x=0,~6
\end{align*}
$n$ は4以上9以下の自然数であるから，$x$ は5以上10以下の自然数である。よって $x=6$&x^4+x^3+2x^2-5x+1=x^4+x^3+x^2+x+1 \\[4pt]&x^2-6x=0 \\[4pt]&x(x-6)=0 \\[4pt]&x=0,~6
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
11111_{(6)}&=6^4+6^3+6^2+6+1 \\[4pt]&=1296+216+36+7 \\[4pt]&=1555
\end{align*}
11111_{(6)}&=6^4+6^3+6^2+6+1 \\[4pt]&=1296+216+36+7 \\[4pt]&=1555
\end{align*}