【数学ⅡB】円と直線の共有点を通る円【早稲田大】

2点を通る円の捉え方

ヒロ

平面上の2点を通る円の方程式を一般形ではない表し方を知っておこう。

【2点を通る円】
一言で「2点A，Bを通る円」と言われても様々な円が存在する。

その中でも方程式を簡単に求めることができるものは，2点A，Bを直径の両端とする円である。

2点A，Bの座標をA$(a,~b)$，B$(c,~d)$ と定めると，線分ABが直径となる円 $C$ の方程式は

\begin{align*}
(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0
\end{align*}

となる。

2点A，Bを通る円 $D$ は「円 $C$ と直線ABの共有点を通る円」と捉えることができる。

直線ABの方程式が $y=mx+n$ のとき，円 $D$ の方程式は

\begin{align*}
(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)+k(mx-y+n)=0
\end{align*}

と表すことができる。

ヒロ

このように考えることで，3点を通る円の方程式も簡単に求めることができる。

３点を通る円の方程式を簡単に求める方法とは？

3点を通る円の方程式を求めるとき，たった1文字使うだけで簡単に求めることができます。連立方程式を解く必要もないため，楽に速く解けるようになります。そのためには他の単元の知識も必要となります。しかし，単元間の知識がつながるため数学力が上がります。

methodology.site

2019.07.04

円と直線の共有点を通る円【早稲田大】

ヒロ

円の中心が線分ABの垂直二等分線上にあることを利用する場合は次のようになる。

(2) 点A，Bを直径の両端とする円の方程式を

\begin{align*}
(x-p_0)^2+(y-q_0)^2={r_0}^2~~(p_0,~q_0,~r_0~は定数)
\end{align*}

の形に表せ。

ヒロ

「直径の両端が定められた円の方程式の求め方」を思い出そう。

ヒロ

基本形で答えを書かないといけないから，中心と半径を求める方法で解こう。

(3) 前問(2)の結果を用いて，点A，Bを通る円の方程式を，$k~(\neq0)$ を定数として

\begin{align*}
k\{(x-p_0)^2+(y-q_0)^2-{r_0}^2\}+ax+by=c
\end{align*}

と表すとき，$\dfrac{b}{a},~\dfrac{c}{a}$ を求めよ。