【数学ⅡB】対数の近似値【関西大・立命館大・成蹊大・広島大】

対数の近似値を求める問題について説明します。

対数の定義を理解していれば，不等式をうまく利用することで，対数の近似値を求めることができるようになります。

対数を小数で表したときに，小数第2位以下の数字を答える問題も出題されるため，求め方のコツを掴んでおくと良いでしょう。

Contents

対数の近似値を求める方法

ヒロ

常用対数の近似値を利用する問題を多く解いていると，その近似値もある程度は覚えるようになるだろう。

ヒロ

例えば $\log_{10}3$ の近似値は0.4771と与えられることが多いが，小数第2位まで求める方法を考えよう。

【$\log_{10}3$ の近似値】
$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$ を用いて $\log_{10}3$ の近似値を小数第2位まで求めよう。3の累乗数を2，5，7の積・商で挟むことを考える。例えば $2^3=8$，$3^2=9$ であることから

\begin{align*}
2^3<3^2<10 \end{align*}

が成り立つ。辺々の常用対数をとると

\begin{align*} &\log_{10}2^3<\log_{10}3^2<\log_{10}10 \\[4pt] &3\log_{10}2<2\log_{10}3<1 \\[4pt] &\dfrac{3}{2}\times0.3010<\log_{10}3<\dfrac{1}{2} \\[4pt] &0.4515<\log_{10}3<0.5 \end{align*}

この計算では，$\log_{10}3$ の小数第1位が4であることは分かるが，小数第2位の数字は分からない。それは作った不等式の精度が低いためである。もっと精度を上げることで小数第2位の数字を求めることができる。
　$2^3\times10=80$，$3^4=81$ より

\begin{align*} &2^3\times10<3^4 \\[4pt] &3\log_{10}2+1<4\log_{10}3 \\[4pt] &\dfrac{3\times0.3010+1}{4}<\log_{10}3 \\[4pt] &0.47575<\log_{10}3~\cdots\cdots① \end{align*}

また，$3^5=243$，$7^2\times10\div2=245$ より

\begin{align*} &3^5<\dfrac{7^2\times10}{2} \\[4pt] &5\log_{10}3<2\log_{10}7+1-\log_{10}2 \\[4pt] &\log_{10}3<\dfrac{2\times0.8451+1-0.3010}{5} \\[4pt] &\log_{10}3<0.47784~\cdots\cdots② \end{align*}

①，②より

\begin{align*} 0.47575<\log_{10}3<0.47784 \end{align*}

となるから，$\log_{10}3$ を小数第2位まで求めると0.47であることが分かる。
　この計算は近似値を用いた簡易法であるから，実際には近似値を用いずに不等式で絞る方法で求めるべきである。