【数学ⅡB】内分点と外分点を表す平面ベクトル【藤田医科大】

ここでは内分点と外分点を表す平面ベクトルについて解説します。

内分点と外分点については，数学2の図形と方程式の単元でも学習します。内分点や外分点のベクトル表記をできるようにすることで，解ける問題が増えます。ベクトルで考える方法も知って使えるようにしましょう。

Contents [hide]

1 内分点を表すベクトル
2 外分点を表すベクトル
3 2021年藤田医科大・ふじた未来入試

内分点を表すベクトル

ヒロ

内分点を表すベクトルの公式は次のようになる。

内分点を表すベクトル三角形OABにおいて，

$\Vec{OA}=\vec{a}$ ，

$\Vec{OB}=\vec{b}$ とする。線分ABを

$m:n$ に内分する点をPとすると，

$\begin{align*} \Vec{OP}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n} \end{align*}$

【証明】

$\begin{align*} \Vec{OP}&=\Vec{OA}+\Vec{AP} \\[4pt] &=\Vec{OA}+\dfrac{m}{m+n}\Vec{AB} \\[4pt] &=\vec{a}+\dfrac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a}) \\[4pt] &=\dfrac{(m+n)\vec{a}+m(\vec{b}-\vec{a})}{m+n} \\[4pt] &=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n} \end{align*}$

外分点を表すベクトル

ヒロ

外分点を表すベクトルの公式は次のようになる。

外分点を表すベクトル三角形OABにおいて，

$\Vec{OA}=\vec{a}$ ，

$\Vec{OB}=\vec{b}$ とする。線分ABを

$m:n$ に外分する点をPとすると，

$\begin{align*} \Vec{OP}=\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n} \end{align*}$

図は

$m>n$ のときの参考図である。

【証明】

$\begin{align*} \Vec{OP}&=\Vec{OA}+\Vec{AP} \\[4pt] &=\Vec{OA}+\dfrac{m}{m-n}\Vec{AB} \\[4pt] &=\vec{a}+\dfrac{m}{m-n}(\vec{b}-\vec{a}) \\[4pt] &=\dfrac{(m-n)\vec{a}+m(\vec{b}-\vec{a})}{m-n} \\[4pt] &=\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n} \end{align*}$

ヒロ

この結果から，「 $m:n$ に外分する」は「 $m:(-n)$ に内分する」に言い換えられることが分かる。ちなみに「 $(-m):n$ に内分する」に言い換えることもできる。

2021年藤田医科大・ふじた未来入試

2021年藤田医科大三角形OABの辺OAを

$2:1$ に内分する点をD，辺ABを

$3:4$ に内分する点をE，線分BDと線分OEの交点をFとするとき，

$\Vec{OF}=\dfrac{\myhako{}}{\myhako{}}\Vec{OA}+\dfrac{\myhako{}}{\myhako{}}\Vec{OB}$ である。

【考え方と解答】
まずは簡単な図を描いて状況を把握しよう。

3点O，F，Eが一直線上にあるから，

$\Vec{OE}$ の定数倍になることが分かる。また，EはABを

$3:4$ に内分するから

$\begin{align*} \Vec{OE}=\dfrac{4}{7}\Vec{OA}+\dfrac{3}{7}\Vec{OB} \end{align*}$

と表せる。よって，

$\textrm{OF}:\textrm{FE}$ を求めることができればこの問題を解くことができる。
ベクトルに拘る必要はなく，メネラウスの定理を利用することで

$\textrm{OF}:\textrm{FE}$ を求められることが分かる。

$\begin{align*} &\dfrac{\textrm{OF}}{\textrm{FE}}\Cdot\dfrac{\textrm{EB}}{\textrm{BA}}\Cdot\dfrac{\textrm{AD}}{\textrm{DO}}=1 \\[4pt] &\dfrac{\textrm{OF}}{\textrm{FE}}\Cdot\dfrac{4}{7}\Cdot\dfrac{1}{2}=1 \\[4pt] &\dfrac{\textrm{OF}}{\textrm{FE}}=\dfrac{7}{2} \end{align*}$

よって，

$\textrm{OF}:\textrm{FE}=7:2$ となるから

$\begin{align*} \Vec{OF}&=\dfrac{7}{9}\Vec{OE} \\[4pt] &=\dfrac{7}{9}\left(\dfrac{4}{7}\Vec{OA}+\dfrac{3}{7}\Vec{OB}\right) \\[4pt] &=\dfrac{4}{9}\Vec{OA}+\dfrac{1}{3}\Vec{OB} \end{align*}$

ヒロ

マーク式試験では，ベクトルを用いた解法に誘導されることもあるから，その解法も知っておこう。

【別の考え方と解答】
点FはOEとBDの交点だから，FがOE上にあることとBD上にあることをベクトルを用いて表すことを考える。条件が2つあるから，文字を2つ使っても方程式を2本立てることができれば解けるはず。
まず，3点O，F，Eが一直線上にあるから，

$\Vec{OF}=t\Vec{OE}$ と表せる。

さらに

$\textrm{AE}:\textrm{EB}=3:4$ より

$\begin{align*} \Vec{OE}=\dfrac{4}{7}\Vec{OA}+\dfrac{3}{7}\Vec{OB} \end{align*}$

と表せるから，

$\begin{align*} \Vec{OF}=\dfrac{4}{7}t\Vec{OA}+\dfrac{3}{7}t\Vec{OB}~\cdots\cdots① \end{align*}$

となる。次に

$\textrm{BF}:\textrm{FD}=s:(1-s)$ とおくと，

$\begin{align*} \Vec{OF}=s\Vec{OD}+(1-s)\Vec{OB} \end{align*}$

と表せる。

$\Vec{OD}=\dfrac{2}{3}\Vec{OA}$ だから

$\begin{align*} \Vec{OF}=\dfrac{2}{3}s\Vec{OA}+(1-s)\Vec{OB}~\cdots\cdots② \end{align*}$

となる。

$\Vec{OA}$ と

$\Vec{OB}$ は平行でなく

$\vec{0}$ でないから，①と②から

$\begin{align*} \begin{cases} \dfrac{4}{7}t=\dfrac{2}{3}s~\cdots\cdots③ \\[4pt] \dfrac{3}{7}t=1-s~\cdots\cdots④ \end{cases} \end{align*}$

③より，

$t=\dfrac{7}{6}s$
これを④に代入すると

$\begin{align*} &\dfrac{1}{2}s=1-s \\[4pt] &s=2-2s \\[4pt] &s=\dfrac{2}{3} \end{align*}$

このとき，

$t=\dfrac{7}{9}$
よって，

$\Vec{OF}=\dfrac{4}{9}\Vec{OA}+\dfrac{1}{3}\Vec{OB}$

内分点を表すベクトル

外分点を表すベクトル

2021年 藤田医科大・ふじた未来入試

2021年藤田医科大・ふじた未来入試